自然数 $k$ に対して、数列 $a_k$ が以下のように定義されている。 $a_k = \lim_{n \to \infty} |\sin(\frac{(k^2+1)\pi}{4})|^n$ また、自然数 $m$ に対して、$b_m = \sum_{k=1}^m a_k$ とする。 (1) $a_1$ と $a_2$ を求めよ。 (2) $a_k = 0$ となる $k$ と $a_k = 1$ となる $k$ をそれぞれ求めよ。 (3) $\lim_{m \to \infty} \frac{b_{2m+1}}{m}$ を求めよ。

1. 問題の内容

自然数 $k$ に対して、数列 $a_k$ が以下のように定義されている。

$a_k = \lim_{n \to \infty} |\sin(\frac{(k^2+1)\pi}{4})|^n$

また、自然数 $m$ に対して、$b_m = \sum_{k=1}^m a_k$ とする。

(1) $a_1$ と $a_2$ を求めよ。

(2) $a_k = 0$ となる $k$ と $a_k = 1$ となる $k$ をそれぞれ求めよ。

(3) $\lim_{m \to \infty} \frac{b_{2m+1}}{m}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a_1$ と $a_2$ を求める。

まず、$a_1$ を計算する。

$a_1 = \lim_{n \to \infty} |\sin(\frac{(1^2+1)\pi}{4})|^n = \lim_{n \to \infty} |\sin(\frac{2\pi}{4})|^n = \lim_{n \to \infty} |\sin(\frac{\pi}{2})|^n = \lim_{n \to \infty} |1|^n = 1$

次に、$a_2$ を計算する。

$a_2 = \lim_{n \to \infty} |\sin(\frac{(2^2+1)\pi}{4})|^n = \lim_{n \to \infty} |\sin(\frac{5\pi}{4})|^n = \lim_{n \to \infty} |-\frac{\sqrt{2}}{2}|^n = \lim_{n \to \infty} (\frac{\sqrt{2}}{2})^n$

ここで、$\frac{\sqrt{2}}{2} < 1$ であるから、$a_2 = 0$

(2) $a_k = 0$ となる $k$ と $a_k = 1$ となる $k$ を求める。

$a_k = \lim_{n \to \infty} |\sin(\frac{(k^2+1)\pi}{4})|^n$ である。

$a_k = 1$ となるのは、$|\sin(\frac{(k^2+1)\pi}{4})| = 1$ のときである。つまり、$\frac{(k^2+1)\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + n\pi$ （$n$ は整数）となる必要がある。

$k^2+1 = 2 + 4n$ より $k^2 = 1+4n$。$k^2 \equiv 1 \pmod{4}$.

これは $k$ が奇数の時に成り立つ。

$a_k = 0$ となるのは、$|\sin(\frac{(k^2+1)\pi}{4})| = 0$ のときである。つまり、$\frac{(k^2+1)\pi}{4} = n\pi$ （$n$ は整数）となる必要がある。

$k^2+1 = 4n$ より $k^2 = 4n-1$。$k^2 \equiv -1 \equiv 3 \pmod{4}$

しかし、任意の整数の二乗は $0,1 \pmod{4}$ のいずれかであるため、そのような $k$ は存在しない。

$a_k = 0$ となるのは、$|\sin(\frac{(k^2+1)\pi}{4})| < 1$ で、$|\sin(\frac{(k^2+1)\pi}{4})| \neq 0$ のときである。つまり、$k$ が偶数の時に $0 < |\sin(\frac{(k^2+1)\pi}{4})| < 1$ となる。

例えば、k=2のとき、$\sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$a_2 = \lim_{n\to\infty} (\frac{\sqrt{2}}{2})^n = 0$

$k$ が偶数の時、$a_k = 0$.

(3) $\lim_{m \to \infty} \frac{b_{2m+1}}{m}$ を求める。

$b_m = \sum_{k=1}^m a_k$ であり、$a_k = 1$ ($k$が奇数)、$a_k = 0$ ($k$が偶数) である。

$b_{2m+1} = \sum_{k=1}^{2m+1} a_k = \sum_{j=0}^{m} a_{2j+1} = \sum_{j=0}^{m} 1 = m+1$

したがって、$\lim_{m \to \infty} \frac{b_{2m+1}}{m} = \lim_{m \to \infty} \frac{m+1}{m} = \lim_{m \to \infty} (1 + \frac{1}{m}) = 1$

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = 1$, $a_2 = 0$

(2) $a_k = 0$ となる $k$ は偶数。$a_k = 1$ となる $k$ は奇数。

(3) $\lim_{m \to \infty} \frac{b_{2m+1}}{m} = 1$