2個のサイコロを同時に投げる試行を80回繰り返すとき、出た目の積が偶数である回数を$X$とする。このとき、$X$の期待値、分散、標準偏差を求める。

1. 問題の内容

2個のサイコロを同時に投げる試行を80回繰り返すとき、出た目の積が偶数である回数を$X$とする。このとき、$X$の期待値、分散、標準偏差を求める。

2. 解き方の手順

まず、1回の試行で出た目の積が偶数になる確率$p$を求める。

出た目の積が偶数になるのは、少なくとも1つのサイコロの目が偶数であるときである。

反対に、出た目の積が奇数になるのは、両方のサイコロの目が奇数であるときである。

1つのサイコロの目が奇数になる確率は$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$なので、両方のサイコロの目が奇数になる確率は

$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$である。

したがって、出た目の積が偶数になる確率は

$p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$となる。

$X$は二項分布$B(n, p)$に従う。ここで、$n = 80$, $p = \frac{3}{4}$である。

二項分布の期待値$E(X)$、分散$V(X)$、標準偏差$\sigma(X)$はそれぞれ以下の式で与えられる。

$E(X) = np$

$V(X) = np(1-p)$

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{np(1-p)}$

したがって、

$E(X) = 80 \times \frac{3}{4} = 60$

$V(X) = 80 \times \frac{3}{4} \times (1 - \frac{3}{4}) = 80 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = 15$

$\sigma(X) = \sqrt{15}$

3. 最終的な答え

期待値：60

分散：15

標準偏差：$\sqrt{15}$