数直線上を動く点Pが原点にあり、硬貨を投げて表が出たらPは正の方向に2進み、裏が出たらPは負の方向に3進む。硬貨を5回投げ終わったとき、Pが原点に戻っている確率を求める。

1. 問題の内容

数直線上を動く点Pが原点にあり、硬貨を投げて表が出たらPは正の方向に2進み、裏が出たらPは負の方向に3進む。硬貨を5回投げ終わったとき、Pが原点に戻っている確率を求める。

2. 解き方の手順

硬貨を5回投げて、表が$x$回、裏が$5-x$回出たとすると、Pの位置は$2x - 3(5-x)$となる。

Pが原点に戻る条件は、

$2x - 3(5-x) = 0$

$2x - 15 + 3x = 0$

$5x = 15$

$x = 3$

つまり、表が3回、裏が2回出れば良い。

硬貨を5回投げて表が3回出る確率は、二項分布に従う。1回の試行で表が出る確率を$p = \frac{1}{2}$、裏が出る確率を$1-p = \frac{1}{2}$とすると、5回の試行で表が3回出る確率は、

$_5C_3 (\frac{1}{2})^3 (\frac{1}{2})^2 = \frac{5!}{3!2!} (\frac{1}{2})^5$

$_5C_3 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$(\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$

したがって、求める確率は、

$10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{16}$