確率変数 $X$ の確率密度関数が $f(x) = x + \frac{1}{2}$ （$0 \le x \le 1$）で与えられているとき、$P(0 \le X \le \frac{1}{2})$ を求めよ。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の確率密度関数が $f(x) = x + \frac{1}{2}$ （$0 \le x \le 1$）で与えられているとき、$P(0 \le X \le \frac{1}{2})$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$P(0 \le X \le \frac{1}{2})$ は、確率密度関数 $f(x)$ を区間 $[0, \frac{1}{2}]$ で積分することで計算できます。

つまり、

$$P(0 \le X \le \frac{1}{2}) = \int_0^{\frac{1}{2}} f(x) dx = \int_0^{\frac{1}{2}} (x + \frac{1}{2}) dx$$

積分を実行します。

$$P(0 \le X \le \frac{1}{2}) = \left[ \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x \right]_0^{\frac{1}{2}}$$

$$P(0 \le X \le \frac{1}{2}) = \left( \frac{1}{2}(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}) \right) - \left( \frac{1}{2}(0)^2 + \frac{1}{2}(0) \right)$$

$$P(0 \le X \le \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{1}{8} + \frac{2}{8} = \frac{3}{8}$$

3. 最終的な答え

$P(0 \le X \le \frac{1}{2}) = \frac{3}{8}$

ア = 3

イ = 8