AがBに勝つ確率は $\frac{3}{5}$ であるとする。引き分けはない。A, Bがゲームをし、先に3ゲーム勝った方を優勝者とする。 (1) 3ゲーム目でAが優勝者に決まる確率を求めよ。 (2) 5ゲーム目でAが優勝者に決まる確率を求めよ。

確率論・統計学確率確率分布組み合わせ勝率
2025/7/14

1. 問題の内容

AがBに勝つ確率は 35\frac{3}{5} であるとする。引き分けはない。A, Bがゲームをし、先に3ゲーム勝った方を優勝者とする。
(1) 3ゲーム目でAが優勝者に決まる確率を求めよ。
(2) 5ゲーム目でAが優勝者に決まる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 3ゲーム目でAが優勝するためには、3ゲーム全てでAが勝つ必要がある。したがって、確率は
(35)3=27125 \left( \frac{3}{5} \right)^3 = \frac{27}{125}
(2) 5ゲーム目でAが優勝するためには、4ゲーム目までにAが2勝し、5ゲーム目にAが勝つ必要がある。4ゲーム目までにAが2勝する確率は、組み合わせを用いて表すと 4C2{}_4C_2 である。Aが勝つ確率が35\frac{3}{5}、Bが勝つ確率が135=251 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}であることを用いると、4ゲーム目までにAが2勝する確率は、
4C2(35)2(25)2=6925425=216625 {}_4C_2 \left( \frac{3}{5} \right)^2 \left( \frac{2}{5} \right)^2 = 6 \cdot \frac{9}{25} \cdot \frac{4}{25} = \frac{216}{625}
5ゲーム目にAが勝つ確率は 35\frac{3}{5} であるから、5ゲーム目でAが優勝する確率は
21662535=6483125 \frac{216}{625} \cdot \frac{3}{5} = \frac{648}{3125}

3. 最終的な答え

(1) 3ゲーム目でAが優勝者に決まる確率は 27125\frac{27}{125}
(2) 5ゲーム目でAが優勝者に決まる確率は 6483125\frac{648}{3125}

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