1つのサイコロを5回投げるとき、以下の確率を求めます。 (1) 1,2,3,5回目に素数の目が出て、4回目に素数でない目が出る確率。 (2) ちょうど4回素数の目が出る確率。 (3) 4回以上素数の目が出る確率。

1. 問題の内容

1つのサイコロを5回投げるとき、以下の確率を求めます。

(1) 1,2,3,5回目に素数の目が出て、4回目に素数でない目が出る確率。

(2) ちょうど4回素数の目が出る確率。

(3) 4回以上素数の目が出る確率。

2. 解き方の手順

(1) 素数の目が出る確率は、サイコロの目が1,2,3,4,5,6のうち、素数は2,3,5なので、$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$です。

素数でない目が出る確率は、$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$です。

1,2,3,5回目に素数が出て、4回目に素数でない目が出る確率は、

$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$

(2) 5回のうちちょうど4回素数の目が出る確率は、二項分布に従います。

5回中4回素数が出る組み合わせは $_5C_4 = \frac{5!}{4!1!} = 5$通りです。

したがって、確率は

$_5C_4 \times (\frac{1}{2})^4 \times (\frac{1}{2})^1 = 5 \times (\frac{1}{16}) \times (\frac{1}{2}) = \frac{5}{32}$

(3) 4回以上素数の目が出る確率は、4回素数の目が出る確率と5回素数の目が出る確率を足し合わせたものです。

4回素数の目が出る確率は(2)より$\frac{5}{32}$です。

5回全て素数の目が出る確率は、$(\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$です。

したがって、求める確率は$\frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{32}$

(2) $\frac{5}{32}$

(3) $\frac{3}{16}$