与えられた行列の積を計算し、その結果を双曲線関数で表現する。 ただし、双曲線関数は $\cosh y = \frac{e^y + e^{-y}}{2}$ および $\sinh y = \frac{e^y - e^{-y}}{2}$ で定義される。 計算する行列の積は以下の通りである。 $\begin{pmatrix} \cosh t & \sinh t \\ \sinh t & \cosh t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cosh x & \sinh x \\ \sinh x & \cosh x \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列の積を計算し、その結果を双曲線関数で表現する。

ただし、双曲線関数は $\cosh y = \frac{e^y + e^{-y}}{2}$ および $\sinh y = \frac{e^y - e^{-y}}{2}$ で定義される。

計算する行列の積は以下の通りである。

$\begin{pmatrix} \cosh t & \sinh t \\ \sinh t & \cosh t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cosh x & \sinh x \\ \sinh x & \cosh x \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、行列の積を計算する。

$\begin{pmatrix} \cosh t & \sinh t \\ \sinh t & \cosh t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cosh x & \sinh x \\ \sinh x & \cosh x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh t \cosh x + \sinh t \sinh x & \cosh t \sinh x + \sinh t \cosh x \\ \sinh t \cosh x + \cosh t \sinh x & \sinh t \sinh x + \cosh t \cosh x \end{pmatrix}$

次に、双曲線関数の加法定理を用いる。双曲線関数の加法定理は以下の通りである。

$\cosh(x+t) = \cosh x \cosh t + \sinh x \sinh t$

$\sinh(x+t) = \sinh x \cosh t + \cosh x \sinh t$

これらを用いて、計算結果を書き換える。

$\begin{pmatrix} \cosh t \cosh x + \sinh t \sinh x & \cosh t \sinh x + \sinh t \cosh x \\ \sinh t \cosh x + \cosh t \sinh x & \sinh t \sinh x + \cosh t \cosh x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh(x+t) & \sinh(x+t) \\ \sinh(x+t) & \cosh(x+t) \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} \cosh(x+t) & \sinh(x+t) \\ \sinh(x+t) & \cosh(x+t) \end{pmatrix}$