問題は2つあります。 1つ目の問題は、ベクトル$\vec{A} = 3\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}$と$\vec{B} = -\vec{i} + 4\vec{j} - \vec{k}$が与えられたときに、以下のものを求める問題です。 (1) $\vec{A} + \vec{B}$ (2) $2\vec{A} - 3\vec{B}$ (3) $\vec{A}$の大きさ $|\vec{A}|$ (4) $\vec{A}$と同じ向きの単位ベクトル $\hat{A}$ 2つ目の問題は、ある質点の位置ベクトル$\vec{r}(t) = t\vec{i} - \frac{1}{2}t^2\vec{j}$が与えられたときに、以下のものを求める問題です。 (1) 速度、速さ、加速度、初期位置、初速度 (2) この質点の軌跡の方程式を求め、0 ≤ t ≤ 2での軌跡を描く。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

1つ目の問題は、ベクトル$\vec{A} = 3\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}$と$\vec{B} = -\vec{i} + 4\vec{j} - \vec{k}$が与えられたときに、以下のものを求める問題です。

(1) $\vec{A} + \vec{B}$

(2) $2\vec{A} - 3\vec{B}$

(3) $\vec{A}$の大きさ $|\vec{A}|$

(4) $\vec{A}$と同じ向きの単位ベクトル $\hat{A}$

2つ目の問題は、ある質点の位置ベクトル$\vec{r}(t) = t\vec{i} - \frac{1}{2}t^2\vec{j}$が与えられたときに、以下のものを求める問題です。

(1) 速度、速さ、加速度、初期位置、初速度

(2) この質点の軌跡の方程式を求め、0 ≤ t ≤ 2での軌跡を描く。

2. 解き方の手順

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1. ベクトルの計算**

(1) $\vec{A} + \vec{B}$ を計算します。それぞれの成分を足し合わせます。

(2) $2\vec{A} - 3\vec{B}$ を計算します。それぞれのベクトルをスカラー倍し、成分ごとに引き算します。

(3) $\vec{A}$ の大きさ $|\vec{A}|$ を計算します。$|\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}$ で計算します。

(4) $\vec{A}$ と同じ向きの単位ベクトル $\hat{A}$ を計算します。$\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}$ で計算します。

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2. 質点の運動**

(1) 速度$\vec{v}(t)$は位置ベクトル$\vec{r}(t)$の時間微分で求めます。

$\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt}$

速さ$v(t)$は速度ベクトルの大きさで求めます。

$v(t) = |\vec{v}(t)|$

加速度$\vec{a}(t)$は速度ベクトル$\vec{v}(t)$の時間微分で求めます。

$\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt}$

初期位置は$t=0$のときの位置ベクトル$\vec{r}(0)$です。

初速度は$t=0$のときの速度ベクトル$\vec{v}(0)$です。

(2) 軌跡の方程式を求めます。$\vec{r}(t) = t\vec{i} - \frac{1}{2}t^2\vec{j}$なので、$x = t$、$y = -\frac{1}{2}t^2$となります。$t$を消去して、$y$を$x$の関数で表します。

$y = -\frac{1}{2}x^2$

$0 \leq t \leq 2$ での軌跡を描くには、$t$を0から2まで変化させたときの$(x, y)$の値をいくつか計算し、それらを結ぶことで軌跡を描画できます。

$t=0$のとき、$(x,y) = (0, 0)$

$t=1$のとき、$(x,y) = (1, -1/2)$

$t=2$のとき、$(x,y) = (2, -2)$

3. 最終的な答え

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1. ベクトルの計算**

(1) $\vec{A} + \vec{B} = (3-1)\vec{i} + (-1+4)\vec{j} + (2-1)\vec{k} = 2\vec{i} + 3\vec{j} + \vec{k}$

(2) $2\vec{A} - 3\vec{B} = 2(3\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}) - 3(-\vec{i} + 4\vec{j} - \vec{k}) = (6+3)\vec{i} + (-2-12)\vec{j} + (4+3)\vec{k} = 9\vec{i} - 14\vec{j} + 7\vec{k}$

(3) $|\vec{A}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$

(4) $\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \frac{3\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}}{\sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}\vec{i} - \frac{1}{\sqrt{14}}\vec{j} + \frac{2}{\sqrt{14}}\vec{k}$

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2. 質点の運動**

(1) 速度: $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} = \vec{i} - t\vec{j}$

速さ: $v(t) = |\vec{v}(t)| = \sqrt{1^2 + (-t)^2} = \sqrt{1 + t^2}$

加速度: $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} = -\vec{j}$

初期位置: $\vec{r}(0) = 0\vec{i} - \frac{1}{2}(0)^2\vec{j} = \vec{0}$

初速度: $\vec{v}(0) = \vec{i} - 0\vec{j} = \vec{i}$

(2) 軌跡の方程式: $y = -\frac{1}{2}x^2$

$0 \leq t \leq 2$ の範囲の軌跡は、放物線 $y = -\frac{1}{2}x^2$ の $0 \leq x \leq 2$ の部分。 具体的には、$(0,0)$, $(1, -1/2)$, $(2, -2)$を通る放物線。