制約条件 $g(x,y) = 5x + 9y - 240 = 0$ のもとで、関数 $f(x,y) = 5\ln(x) + 3\ln(y)$ の極値を求める問題です。ラグランジュ関数 $L(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda g(x,y)$ を定義し、$L_x = L_y = L_\lambda = 0$ の解 $(x,y,\lambda)$ を $(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1)$ と $(\alpha_2, \beta_2, \gamma_2)$ とします。 $\alpha_1 = 30$, $\beta_1 = 10$, $\gamma_1 = 1/30$ が与えられています。 $\alpha_2$, $\beta_2$, $\gamma_2$ の値を求め、さらに $(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1)$ と $(\alpha_2, \beta_2, \gamma_2)$ における縁付ヘッセ行列式 $B$ の値を計算し、それぞれの点で極大または極小となるかを判定します。

1. 問題の内容

制約条件 $g(x,y) = 5x + 9y - 240 = 0$ のもとで、関数 $f(x,y) = 5\ln(x) + 3\ln(y)$ の極値を求める問題です。ラグランジュ関数 $L(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda g(x,y)$ を定義し、$L_x = L_y = L_\lambda = 0$ の解 $(x,y,\lambda)$ を $(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1)$ と $(\alpha_2, \beta_2, \gamma_2)$ とします。

$\alpha_1 = 30$, $\beta_1 = 10$, $\gamma_1 = 1/30$ が与えられています。

$\alpha_2$, $\beta_2$, $\gamma_2$ の値を求め、さらに $(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1)$ と $(\alpha_2, \beta_2, \gamma_2)$ における縁付ヘッセ行列式 $B$ の値を計算し、それぞれの点で極大または極小となるかを判定します。

2. 解き方の手順

まず、$L(x, y, \lambda) = 5\ln(x) + 3\ln(y) - \lambda(5x + 9y - 240)$ を計算します。

次に、$L_x$, $L_y$, $L_\lambda$ を計算します。

$L_x = \frac{5}{x} - 5\lambda$

$L_y = \frac{3}{y} - 9\lambda$

$L_\lambda = -(5x + 9y - 240)$

$L_x = 0$, $L_y = 0$, $L_\lambda = 0$ を解きます。

$L_x = 0$ より $\frac{5}{x} = 5\lambda \implies x = \frac{1}{\lambda}$

$L_y = 0$ より $\frac{3}{y} = 9\lambda \implies y = \frac{1}{3\lambda}$

$L_\lambda = 0$ より $5x + 9y = 240$

$x$ と $y$ を代入して

$5(\frac{1}{\lambda}) + 9(\frac{1}{3\lambda}) = 240$

$\frac{5}{\lambda} + \frac{3}{\lambda} = 240$

$\frac{8}{\lambda} = 240$

$\lambda = \frac{8}{240} = \frac{1}{30}$

したがって、$x = \frac{1}{\lambda} = 30$、$y = \frac{1}{3\lambda} = \frac{1}{3(1/30)} = 10$

これは $(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1) = (30, 10, \frac{1}{30})$ に対応します。

もう一つの解が存在しないため、$\alpha_2$, $\beta_2$, $\gamma_2$ には値は存在しません。

したがって、$\alpha_2 = \text{なし}$, $\beta_2 = \text{なし}$, $\gamma_2 = \text{なし}$となります。

次に、縁付ヘッセ行列式 $B$ を計算します。

$B = \begin{vmatrix} 0 & g_x & g_y \\ g_x & L_{xx} & L_{xy} \\ g_y & L_{yx} & L_{yy} \end{vmatrix}$

$g_x = 5$

$g_y = 9$

$L_{xx} = -\frac{5}{x^2}$

$L_{yy} = -\frac{3}{y^2}$

$L_{xy} = L_{yx} = 0$

$B = \begin{vmatrix} 0 & 5 & 9 \\ 5 & -\frac{5}{x^2} & 0 \\ 9 & 0 & -\frac{3}{y^2} \end{vmatrix} = 0 - 5(5(-\frac{3}{y^2}) - 0) + 9(0 - 9(-\frac{5}{x^2})) = \frac{75}{y^2} + \frac{405}{x^2}$

$(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1) = (30, 10, \frac{1}{30})$のとき

$B = \frac{75}{10^2} + \frac{405}{30^2} = \frac{75}{100} + \frac{405}{900} = \frac{3}{4} + \frac{9}{20} = \frac{15+9}{20} = \frac{24}{20} = \frac{6}{5} > 0$

$B(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1) = \frac{6}{5}$。これは極大点に対応します。

$(\alpha_2, \beta_2, \gamma_2)$ の場合、解が存在しないので、該当なしとなります。$B(\alpha_2, \beta_2, \gamma_2) = 0$ となります。

3. 最終的な答え

$\alpha_2 = \text{なし}$

$\beta_2 = \text{なし}$

$\gamma_2 = \text{なし}$

$B(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1) = \frac{6}{5}$

$B(\alpha_2, \beta_2, \gamma_2) = 0$