平行板電極ABに電圧Vをかけたとき、Aから初速度0で加速された電子がBに到達する直前の速さ、運動量、波長を求める。電子の質量はm、電気素量はe、プランク定数はhとする。

## 問1

1. 問題の内容

平行板電極ABに電圧Vをかけたとき、Aから初速度0で加速された電子がBに到達する直前の速さ、運動量、波長を求める。電子の質量はm、電気素量はe、プランク定数はhとする。

2. 解き方の手順

(1) 電子の速さ：

電子が電圧Vによって得たエネルギーは、電位差に電子の電荷をかけたものである。

運動エネルギーの変化は、

$\frac{1}{2}mv^2 = eV$

したがって、Bに到達する直前の速さvは、

$v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$

(2) 電子の運動量：

運動量pは、質量mと速さvの積で表される。

$p = mv$

(1)の結果を用いると、

$p = m\sqrt{\frac{2eV}{m}} = \sqrt{2meV}$

(3) 電子の波長：

ド・ブロイ波長λは、プランク定数hを運動量pで割ったものである。

$\lambda = \frac{h}{p}$

(2)の結果を用いると、

$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$

3. 最終的な答え

(1) 速さ: $\sqrt{\frac{2eV}{m}}$

(2) 運動量: $\sqrt{2meV}$

(3) 波長: $\frac{h}{\sqrt{2meV}}$

## 問2

1. 問題の内容

水素原子において、陽子が原点に静止しており、電子が陽子の周りを等速円運動しているとする。電子の質量はm、電荷は-e、原点からの距離はr、クーロン力の大きさは $k\frac{e^2}{r^2}$とする。電子のド・ブロイ波長、定常状態における軌道半径、速さの最大値、半径の最小値を求める。プランク定数は $h$とする。

2. 解き方の手順

(1) ド・ブロイ波長：

電子のド・ブロイ波長λは、プランク定数hを運動量mvで割ったものである。

$\lambda = \frac{h}{mv}$

(2) 定常状態の半径：

定常状態では、円軌道の円周の長さがド・ブロイ波長の整数倍になっている。

$2\pi r = n\lambda$ (n = 1, 2, 3, ...)

$\lambda = \frac{h}{mv}$を代入して、

$2\pi r = n\frac{h}{mv}$

したがって、半径rは、

$r = \frac{nh}{2\pi mv}$

(3) 速さの最大値：

クーロン力と遠心力が釣り合っているので、

$k\frac{e^2}{r^2} = m\frac{v^2}{r}$

$v^2 = \frac{ke^2}{mr}$

(2)の結果を代入して、

$v^2 = \frac{ke^2}{m} \frac{2\pi mv}{nh} = \frac{2\pi ke^2v}{nh}$

$v = \frac{2\pi ke^2}{nh}$

速さvが最大になるのは、nが最小のとき、つまりn=1のときである。

(4) 半径の最小値：

(2)の結果より、$r = \frac{nh}{2\pi mv}$

$v = \frac{2\pi ke^2}{nh}$を代入して、

$r = \frac{nh}{2\pi m} \frac{nh}{2\pi ke^2} = \frac{n^2h^2}{4\pi^2 mke^2}$

半径rが最小になるのは、nが最小のとき、つまりn=1のときである。

$r_{min} = \frac{h^2}{4\pi^2 mke^2}$

$h = 6.63 \times 10^{-34} Js$, $m = 9.11 \times 10^{-31} kg$, $ke^2 = 2.31 \times 10^{-28} Nm^2$, $\pi = 3.14$

$r_{min} = \frac{(6.63 \times 10^{-34})^2}{4\times (3.14)^2 \times (9.11 \times 10^{-31}) \times (2.31 \times 10^{-28})} \approx 0.53 \times 10^{-10} m$

$r_{min} = 5.3 \times 10^{-11} m$

3. 最終的な答え

(1) ド・ブロイ波長: $\frac{h}{mv}$

(2) 半径: $\frac{nh}{2\pi mv}$

(3) 速さの最大値: n=1

(4) 半径の最小値: n=1, $5.3 \times 10^{-11} m$