実質金利が与えられた資本と実質所得を得る消費者の2期間にわたる効用最大化を考える。効用関数が $U(c_1, c_2) = 100 + 0.9c_1^{0.7}c_2^{0.3}$ で与えられるとき、設備投資関数が外生的である場合の45度線分析における財政支出乗数を求める問題です。答えは分数で答えます。

1. 問題の内容

実質金利が与えられた資本と実質所得を得る消費者の2期間にわたる効用最大化を考える。効用関数が $U(c_1, c_2) = 100 + 0.9c_1^{0.7}c_2^{0.3}$ で与えられるとき、設備投資関数が外生的である場合の45度線分析における財政支出乗数を求める問題です。答えは分数で答えます。

2. 解き方の手順

まず、限界消費性向（MPC）を求める必要があります。効用関数から消費性向を導き出すことはできません。しかし、45度線分析では、総需要は $AD = C + I + G$ で表されます。ここで、$C$ は消費、$I$ は投資、$G$ は政府支出です。 財政支出乗数は $1/(1-MPC)$ で計算されます。効用関数が $U(c_1, c_2) = 100 + 0.9c_1^{0.7}c_2^{0.3}$ であるとき、消費性向は$0.9$であると推測できます。なぜなら、$c_1$と$c_2$の係数0.9が消費に割り当てられる割合を示していると考えられるからです。45度線分析においては、すべての期間での消費支出を合計して集計的な消費関数を考えるものとします。したがって、集計的な限界消費性向は0.9であると考えることができます。

したがって、財政支出乗数は

$1 / (1 - 0.9) = 1 / 0.1 = 10$

となります。これを分数で表すと、10/1です。

3. 最終的な答え

10/1