2期間モデルにおける消費者の効用関数 $U(c_1, c_2) = 100 + 0.9 c_1^{0.7} c_2^{0.3}$ が与えられたとき、設備投資関数が外生的な場合の45度線分析における財政支出乗数を求める問題です。答えは分数で求める必要があります。

1. 問題の内容

2期間モデルにおける消費者の効用関数 $U(c_1, c_2) = 100 + 0.9 c_1^{0.7} c_2^{0.3}$ が与えられたとき、設備投資関数が外生的な場合の45度線分析における財政支出乗数を求める問題です。答えは分数で求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、効用関数から2期間の消費の割合を求めます。効用関数が $U(c_1, c_2) = 100 + 0.9 c_1^{0.7} c_2^{0.3}$ であるため、これはコブ・ダグラス型効用関数に似ています。コブ・ダグラス型効用関数 $U(c_1, c_2) = c_1^{\alpha} c_2^{\beta}$ において、消費の割合は所得に依存しません。$c_1$ と $c_2$ の支出割合はそれぞれ $\alpha$ と $\beta$ に比例します。今回は、効用関数に定数項100がありますが、限界効用には影響しないので、消費の割合は変わりません。

よって、第1期の消費の割合は0.7、第2期の消費の割合は0.3となります。このことから、限界消費性向（MPC）は0.7と考えることができます。

45度線分析における財政支出乗数は、以下の式で表されます。

$乗数 = \frac{1}{1 - MPC}$

ここで、MPCは限界消費性向です。

MPC = 0.7 を上記の式に代入すると、

$乗数 = \frac{1}{1 - 0.7} = \frac{1}{0.3} = \frac{1}{\frac{3}{10}} = \frac{10}{3}$

3. 最終的な答え

財政支出乗数は $\frac{10}{3}$ です。