ニュートン法を用いて、$f(x) = x^2 - 114$ の根を求める問題を解く。初期値$x_0 = 11$ から始めて、$x_1$と$x_2$を計算する。

1. 問題の内容

ニュートン法を用いて、$f(x) = x^2 - 114$ の根を求める問題を解く。初期値$x_0 = 11$ から始めて、$x_1$と$x_2$を計算する。

2. 解き方の手順

まず、ニュートン法の公式を確認する。

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

$f(x) = x^2 - 114$であるから、$f'(x) = 2x$となる。

$x_0 = 11$のとき、

$f(x_0) = f(11) = 11^2 - 114 = 121 - 114 = 7$

$f'(x_0) = f'(11) = 2 \times 11 = 22$

したがって、

$x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 11 - \frac{7}{22} = 11 - 0.31818... = 10.681818...$

次に、$x_2$を計算する。$x_1 = 10.68182$ (近似値) とする。

$f(x_1) = (10.68182)^2 - 114 \approx 114.103 - 114 = 0.103$

$f'(x_1) = 2 \times 10.68182 \approx 21.36364$

したがって、

$x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} = 10.68182 - \frac{0.103}{21.36364} \approx 10.68182 - 0.00482 \approx 10.677$

問題文にある数式:

$x_1 = -\frac{f(11)}{f'(11)} + 11 = -\frac{121-114}{22} + 11 = -\frac{7}{22} + 11 = 10.681818...$

$x_2 = -\frac{f(10.68182)}{f'(10.68182)} + 10.68182$

3. 最終的な答え

$x_1 = 10.681818...$

$x_2 \approx 10.677$