$\triangle OAB$ において、辺 $OB$ を $1:2$ に内分する点を $L$、辺 $AB$ の中点を $M$ とし、線分 $OM$ と線分 $AL$ の交点を $P$ とするとき、$OP$ と $PM$ の比を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OB$ を $1:2$ に内分する点を $L$、辺 $AB$ の中点を $M$ とし、線分 $OM$ と線分 $AL$ の交点を $P$ とするとき、$OP$ と $PM$ の比を求めよ。

2. 解き方の手順

ベクトルを用いて解く。

$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$ とする。

点 $L$ は辺 $OB$ を $1:2$ に内分する点なので、

$\vec{OL} = \frac{1}{3}\vec{OB} = \frac{1}{3}\vec{b}$

点 $M$ は辺 $AB$ の中点なので、

$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

点 $P$ は線分 $OM$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて、

$\vec{OP} = s\vec{OM} = s\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{s}{2}\vec{a} + \frac{s}{2}\vec{b}$

点 $P$ は線分 $AL$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて、

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OA} + t\vec{OL} = (1-t)\vec{a} + t\frac{1}{3}\vec{b} = (1-t)\vec{a} + \frac{t}{3}\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$\frac{s}{2} = 1-t$

$\frac{s}{2} = \frac{t}{3}$

上記の二つの式より、$1-t = \frac{t}{3}$

$3 - 3t = t$

$4t = 3$

$t = \frac{3}{4}$

したがって、

$\frac{s}{2} = \frac{t}{3} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

$s = \frac{1}{2}$

$\vec{OP} = s\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{OM}$

これは、$OP:PM = 1:1$ を意味する。

3. 最終的な答え

$OP:PM = 1:1$