三角形ABCがあり、頂点A, B, Cの位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で与えられています。 辺ABを3:1に内分する点をD、辺BCの中点をE、辺CAを2:1に内分する点をFとします。 以下のベクトルを$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表しなさい。 (1) $\overrightarrow{AC}$ (2) $\overrightarrow{BE}$ (3) $\overrightarrow{CD}$ (4) $\overrightarrow{DF}$

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、頂点A, B, Cの位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で与えられています。

辺ABを3:1に内分する点をD、辺BCの中点をE、辺CAを2:1に内分する点をFとします。

以下のベクトルを$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表しなさい。

(1) $\overrightarrow{AC}$

(2) $\overrightarrow{BE}$

(3) $\overrightarrow{CD}$

(4) $\overrightarrow{DF}$

2. 解き方の手順

まず、点D, E, Fの位置ベクトルを求めます。

* 点D: $\vec{d} = \frac{1\cdot \vec{a} + 3 \cdot \vec{b}}{3+1} = \frac{\vec{a} + 3\vec{b}}{4}$

* 点E: $\vec{e} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$

* 点F: $\vec{f} = \frac{1\cdot \vec{c} + 2\cdot \vec{a}}{2+1} = \frac{2\vec{a} + \vec{c}}{3}$

次に、各ベクトルを計算します。

(1) $\overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a}$

(2) $\overrightarrow{BE} = \vec{e} - \vec{b} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{b} = \frac{\vec{c} - \vec{b}}{2}$

(3) $\overrightarrow{CD} = \vec{d} - \vec{c} = \frac{\vec{a} + 3\vec{b}}{4} - \vec{c} = \frac{\vec{a} + 3\vec{b} - 4\vec{c}}{4}$

(4) $\overrightarrow{DF} = \vec{f} - \vec{d} = \frac{2\vec{a} + \vec{c}}{3} - \frac{\vec{a} + 3\vec{b}}{4} = \frac{4(2\vec{a} + \vec{c}) - 3(\vec{a} + 3\vec{b})}{12} = \frac{8\vec{a} + 4\vec{c} - 3\vec{a} - 9\vec{b}}{12} = \frac{5\vec{a} - 9\vec{b} + 4\vec{c}}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a}$

(2) $\overrightarrow{BE} = \frac{\vec{c} - \vec{b}}{2}$

(3) $\overrightarrow{CD} = \frac{\vec{a} + 3\vec{b} - 4\vec{c}}{4}$

(4) $\overrightarrow{DF} = \frac{5\vec{a} - 9\vec{b} + 4\vec{c}}{12}$