与えられた複素数の積を計算する問題です。 $(3 + \sqrt{-2})(5 - \sqrt{-8})$

1. 問題の内容

与えられた複素数の積を計算する問題です。

$(3 + \sqrt{-2})(5 - \sqrt{-8})$

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{-2}$ と $\sqrt{-8}$ を虚数単位 $i$ を用いて書き換えます。

$\sqrt{-2} = \sqrt{2}i$

$\sqrt{-8} = \sqrt{8}i = 2\sqrt{2}i$

したがって、与えられた式は

$(3 + \sqrt{2}i)(5 - 2\sqrt{2}i)$

となります。

これを展開します。

$(3 + \sqrt{2}i)(5 - 2\sqrt{2}i) = 3(5) + 3(-2\sqrt{2}i) + \sqrt{2}i(5) + \sqrt{2}i(-2\sqrt{2}i)$

$= 15 - 6\sqrt{2}i + 5\sqrt{2}i - 4i^2$

$i^2 = -1$ なので

$= 15 - \sqrt{2}i - 4(-1)$

$= 15 - \sqrt{2}i + 4$

$= 19 - \sqrt{2}i$

3. 最終的な答え

$19 - \sqrt{2}i$