2次方程式 $x^2 + 2mx + 3m - 1 = 0$ の1つの解が他の解の2倍であるとき、整数 $m$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2mx + 3m - 1 = 0$ の1つの解が他の解の2倍であるとき、整数 $m$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式の2つの解を $\alpha$ と $2\alpha$ と置きます。

解と係数の関係より、

2つの解の和は $-2m$ 、

2つの解の積は $3m - 1$ であることがわかります。

したがって、

$\alpha + 2\alpha = -2m$

$\alpha \cdot 2\alpha = 3m - 1$

これらの式を整理すると、

$3\alpha = -2m$ ... (1)

$2\alpha^2 = 3m - 1$ ... (2)

(1)式より、

$\alpha = -\frac{2}{3}m$ ... (3)

(3)式を(2)式に代入すると、

$2\left(-\frac{2}{3}m\right)^2 = 3m - 1$

$2\left(\frac{4}{9}m^2\right) = 3m - 1$

$\frac{8}{9}m^2 = 3m - 1$

$8m^2 = 27m - 9$

$8m^2 - 27m + 9 = 0$

この2次方程式を解くと、

$(8m - 3)(m - 3) = 0$

よって、

$m = \frac{3}{8}, 3$

問題文より、$m$ は整数であるため、$m = 3$ となります。

3. 最終的な答え

$m = 3$