与えられた道路網において、O地点から出発し、以下の条件を満たす最短経路の数を求める問題です。 (1) A地点を通りP地点へ行く経路の数 (2) B地点を通りP地点へ行く経路の数 (3) A地点とB地点の両方を通りP地点へ行く経路の数 ただし、C地点は通れないものとし、同じ道を何度通っても良いとします。

はい、承知いたしました。問題に取り組みます。

1. 問題の内容

与えられた道路網において、O地点から出発し、以下の条件を満たす最短経路の数を求める問題です。

(1) A地点を通りP地点へ行く経路の数

(2) B地点を通りP地点へ行く経路の数

(3) A地点とB地点の両方を通りP地点へ行く経路の数

ただし、C地点は通れないものとし、同じ道を何度通っても良いとします。

2. 解き方の手順

(1) O地点からA地点への最短経路の数と、A地点からP地点への最短経路の数をそれぞれ求め、それらを掛け合わせます。 OからAへは、右に2回、上に1回進む必要があります。 よって、経路の数は $\frac{3!}{2!1!} = 3$ 通りです。 AからPへは、右に4回、上に5回進む必要があります。 よって、経路の数は $\frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ 通りです。したがって、A地点を通ってP地点へ行く最短経路の数は $3 \times 126 = 378$ 通りです。

(2) O地点からB地点への最短経路の数と、B地点からP地点への最短経路の数をそれぞれ求め、それらを掛け合わせます。 OからBへは、右に5回、下に1回進む必要があります。 よって、経路の数は $\frac{6!}{5!1!} = 6$ 通りです。 BからPへは、右に1回、上に6回進む必要があります。 よって、経路の数は $\frac{7!}{1!6!} = 7$ 通りです。したがって、B地点を通ってP地点へ行く最短経路の数は $6 \times 7 = 42$ 通りです。

(3) A地点とB地点の両方を通ってP地点へ行く最短経路の数を求めます。 まず、O地点からA地点への最短経路の数は3通り、B地点からP地点への最短経路の数は7通りであることは(1)(2)で求めました。したがって、A地点とB地点の両方を通るためにはA->B->Pを通るか、B->A->Pを通る必要があります。AからBへの経路は、右に３回、下に２回で $\frac{5!}{3!2!} = \frac{5\times4}{2} = 10$通りあります。BからAへの経路は、左に３回、上に２回で $\frac{5!}{3!2!} = \frac{5\times4}{2} = 10$通りあります。

したがって、O->A->B->Pの経路は $3 \times 10 \times 7 = 210$通りあります。O->B->A->Pの経路は $6 \times 10 \times 126 = 7560$通りあります。

この問題の条件として、同じ道を何度通っても良いとするので、AとBを結ぶ直線がない場合は上記のように考えられますが、実際にはAとBは道路で繋がっているので、最短経路で結ぶことはありません。

OからAを通ってBに行く経路は存在しないので、A,Bの両方を通ってPに行くことはできません。

3. 最終的な答え

(1) 378通り

(2) 42通り

(3) 0通り