以下の3つの命題の真偽を調べます。 (1) 実数 $a, b$ について、$a < 1, b < 1$ ならば $ab < 1$ (2) 実数 $x$ について、$|x| > 2$ ならば $x > 2$ (3) 実数 $x$ について、$|x + 2| < 1$ ならば $|x| < 3$ ただし、(2)と(3)は集合を用いて調べます。

1. 問題の内容

以下の3つの命題の真偽を調べます。

(1) 実数 $a, b$ について、$a < 1, b < 1$ ならば $ab < 1$

(2) 実数 $x$ について、$|x| > 2$ ならば $x > 2$

(3) 実数 $x$ について、$|x + 2| < 1$ ならば $|x| < 3$

ただし、(2)と(3)は集合を用いて調べます。

2. 解き方の手順

(1)

$a < 1$かつ$b < 1$ならば$ab < 1$

これは偽です。反例として、$a = -2$, $b = -2$を考えます。このとき、$a < 1$かつ$b < 1$を満たしますが、$ab = (-2) \times (-2) = 4 > 1$ となり、$ab < 1$を満たしません。

(2)

$|x| > 2$ ならば $x > 2$

$|x| > 2$ ということは、$x > 2$ または $x < -2$ ということです。

$x > 2$ を満たす $x$ の集合を $A$, $|x| > 2$を満たす$x$の集合を $B$ とします。

このとき、$A = \{x \mid x > 2\}$ であり、$B = \{x \mid x > 2 \text{ または } x < -2\}$ です。

したがって、$A \subset B$　は成り立ちますが、$B \subset A$　は成り立ちません。

例えば、$x = -3$ とすると、$|x| = |-3| = 3 > 2$ なので $x \in B$ ですが、$x = -3 < 2$ なので $x \notin A$ です。

したがって、命題は偽です。

(3)

$|x + 2| < 1$ ならば $|x| < 3$

$|x + 2| < 1$ は $-1 < x + 2 < 1$ と同値です。

$-1 < x + 2 < 1$ の各辺から2を引くと、

$-3 < x < -1$

となります。

したがって、$|x| < 3$ は $-3 < x < 3$ と同値です。

$|x + 2| < 1$ を満たす $x$ の集合を $C$, $|x| < 3$ を満たす $x$ の集合を $D$ とします。

$C = \{x \mid -3 < x < -1\}$ であり、$D = \{x \mid -3 < x < 3\}$ です。

$C \subset D$ が成り立つので、命題は真です。

3. 最終的な答え

(1) 偽

(2) 偽

(3) 真