B国の中央銀行がインフレ率をコントロールでき、国民が合理的な期待形成を行う経済において、フィリップス曲線 $\pi = \pi^e - 2(u - u^*)$ と損失関数 $L = 8\pi^2 + u$ が与えられています。ここで、$\pi$ はインフレ率、$\pi^e$ は期待インフレ率、$u$ は失業率、$u^*$ は自然失業率、$L$ は中央銀行の損失です。以下の4つの問いに答えます。 (1) 中央銀行が損失を最小にするような裁量的な金融政策を行うときのインフレ率$\pi$を求めます。 (2) (1)のとき、自然失業率$u^*=3\%$ の場合の損失$L$を求めます。 (3) 中央銀行が2%のインフレ・ターゲット政策を実施しているとき、自然失業率$u^*=3\%$ の場合の損失$L$を求めます。 (4) (3)の状況から、中央銀行が突然金融緩和を行い、インフレ率を4%に誘導する政策を行ったとき、自然失業率$u^*=3\%$ の場合の損失$L$を求めます。

1. 問題の内容

B国の中央銀行がインフレ率をコントロールでき、国民が合理的な期待形成を行う経済において、フィリップス曲線 $\pi = \pi^e - 2(u - u^*)$ と損失関数 $L = 8\pi^2 + u$ が与えられています。ここで、$\pi$ はインフレ率、$\pi^e$ は期待インフレ率、$u$ は失業率、$u^*$ は自然失業率、$L$ は中央銀行の損失です。以下の4つの問いに答えます。

(1) 中央銀行が損失を最小にするような裁量的な金融政策を行うときのインフレ率$\pi$を求めます。

(2) (1)のとき、自然失業率$u^*=3\%$ の場合の損失$L$を求めます。

(3) 中央銀行が2%のインフレ・ターゲット政策を実施しているとき、自然失業率$u^*=3\%$ の場合の損失$L$を求めます。

(4) (3)の状況から、中央銀行が突然金融緩和を行い、インフレ率を4%に誘導する政策を行ったとき、自然失業率$u^*=3\%$ の場合の損失$L$を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 裁量的な金融政策では、$\pi^e = \pi$ となります。フィリップス曲線は $\pi = \pi - 2(u - u^*)$ となり、$u = u^*$ が得られます。損失関数 $L = 8\pi^2 + u$ を最小化するには、まず$u$を$\pi$で表す必要があります。フィリップス曲線 $\pi = \pi^e - 2(u - u^*)$ より、$u = u^* + \frac{\pi^e - \pi}{2}$を得ます。裁量的な金融政策のもとでは $\pi = \pi^e$ なので、$u=u^*$ となります。損失関数は $L = 8\pi^2 + u^*$ となります。

$L$ を最小化するために、$\frac{dL}{d\pi}=16\pi=0$ とおくと、$\pi = 0$ が得られます。

このときのインフレ率は 0% です。

(2) (1) で $\pi = 0$ および $u^* = 3\% = 0.03$ であるので、損失は $L = 8(0)^2 + 0.03 = 0.03$ です。

(3) $\pi = 2\% = 0.02$ であり、$u^* = 3\% = 0.03$ です。フィリップス曲線より $0.02 = \pi^e - 2(u - 0.03)$ が得られます。インフレターゲット政策のもとで $\pi=\pi^e=0.02$ なので、$u=u^*=0.03$となります。損失は $L = 8(0.02)^2 + 0.03 = 8(0.0004) + 0.03 = 0.0032 + 0.03 = 0.0332$ です。

(4) $\pi = 4\% = 0.04$ であり、$u^* = 3\% = 0.03$ です。インフレターゲット政策から突然の金融緩和を行ったので、期待インフレ率 $\pi^e = 2\% = 0.02$ のままです。フィリップス曲線より $0.04 = 0.02 - 2(u - 0.03)$ となります。これを解くと $0.02 = -2(u - 0.03)$、$-0.01 = u - 0.03$、 $u = 0.03 - 0.01 = 0.02$ となります。

損失は $L = 8(0.04)^2 + 0.02 = 8(0.0016) + 0.02 = 0.0128 + 0.02 = 0.0328$ です。

3. 最終的な答え

(1) 0.00 %

(2) 0.0300

(3) 0.0332

(4) 0.0328