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与えられた4つの関数について、指定された定義域における最大値と最小値を求める問題です。

解析学最大値最小値微分関数の増減
2025/7/16

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、指定された定義域における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で最大値と最小値を求めます。
(1) 関数 y=3x2−4x−5y = 3x^2 - 4x - 5 （−2≤x≤2-2 \le x \le 2）の場合：
* 導関数を求めます。
y′=6x−4y' = 6x - 4
* y′=0y' = 0 となる xx を求めます。
6x−4=06x - 4 = 0 より x=23x = \frac{2}{3}
* 定義域の両端 x=−2,2x = -2, 2 と、導関数が0になる点 x=23x = \frac{2}{3} での yy の値を計算します。
* x=−2x = -2 のとき、 y=3(−2)2−4(−2)−5=12+8−5=15y = 3(-2)^2 - 4(-2) - 5 = 12 + 8 - 5 = 15
* x=2x = 2 のとき、 y=3(2)2−4(2)−5=12−8−5=−1y = 3(2)^2 - 4(2) - 5 = 12 - 8 - 5 = -1
* x=23x = \frac{2}{3} のとき、y=3(23)2−4(23)−5=43−83−5=−43−5=−193=−613y = 3(\frac{2}{3})^2 - 4(\frac{2}{3}) - 5 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} - 5 = -\frac{4}{3} - 5 = -\frac{19}{3} = -6\frac{1}{3}
* 計算された yy の値の中で、最大値と最小値を特定します。
(2) 関数 y=x3−3x2+5y = x^3 - 3x^2 + 5 （−1≤x≤3-1 \le x \le 3）の場合：
* 導関数を求めます。
y′=3x2−6xy' = 3x^2 - 6x
* y′=0y' = 0 となる xx を求めます。
3x2−6x=3x(x−2)=03x^2 - 6x = 3x(x - 2) = 0 より x=0,2x = 0, 2
* 定義域の両端 x=−1,3x = -1, 3 と、導関数が0になる点 x=0,2x = 0, 2 での yy の値を計算します。
* x=−1x = -1 のとき、y=(−1)3−3(−1)2+5=−1−3+5=1y = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 5 = -1 - 3 + 5 = 1
* x=0x = 0 のとき、y=03−3(0)2+5=5y = 0^3 - 3(0)^2 + 5 = 5
* x=2x = 2 のとき、y=23−3(2)2+5=8−12+5=1y = 2^3 - 3(2)^2 + 5 = 8 - 12 + 5 = 1
* x=3x = 3 のとき、y=33−3(3)2+5=27−27+5=5y = 3^3 - 3(3)^2 + 5 = 27 - 27 + 5 = 5
* 計算された yy の値の中で、最大値と最小値を特定します。
(3) 関数 y=x3−3x2+3xy = x^3 - 3x^2 + 3x （−2≤x≤2-2 \le x \le 2）の場合：
* 導関数を求めます。
y′=3x2−6x+3y' = 3x^2 - 6x + 3
* y′=0y' = 0 となる xx を求めます。
3x2−6x+3=3(x2−2x+1)=3(x−1)2=03x^2 - 6x + 3 = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x - 1)^2 = 0 より x=1x = 1
* 定義域の両端 x=−2,2x = -2, 2 と、導関数が0になる点 x=1x = 1 での yy の値を計算します。
* x=−2x = -2 のとき、y=(−2)3−3(−2)2+3(−2)=−8−12−6=−26y = (-2)^3 - 3(-2)^2 + 3(-2) = -8 - 12 - 6 = -26
* x=1x = 1 のとき、y=13−3(1)2+3(1)=1−3+3=1y = 1^3 - 3(1)^2 + 3(1) = 1 - 3 + 3 = 1
* x=2x = 2 のとき、y=23−3(2)2+3(2)=8−12+6=2y = 2^3 - 3(2)^2 + 3(2) = 8 - 12 + 6 = 2
* 計算された yy の値の中で、最大値と最小値を特定します。
(4) 関数 y=3x4−8x3−18x2y = 3x^4 - 8x^3 - 18x^2 （−1≤x<1-1 \le x < 1）の場合：
* 導関数を求めます。
y′=12x3−24x2−36xy' = 12x^3 - 24x^2 - 36x
* y′=0y' = 0 となる xx を求めます。
12x3−24x2−36x=12x(x2−2x−3)=12x(x−3)(x+1)=012x^3 - 24x^2 - 36x = 12x(x^2 - 2x - 3) = 12x(x - 3)(x + 1) = 0 より x=0,3,−1x = 0, 3, -1
* 定義域の左端 x=−1x = -1 と、導関数が0になる点 x=0x = 0 （x=3x=3は定義域外）での yy の値を計算します。x=1x=1は定義域に含まれないため、考える必要はありません。
* x=−1x = -1 のとき、y=3(−1)4−8(−1)3−18(−1)2=3+8−18=−7y = 3(-1)^4 - 8(-1)^3 - 18(-1)^2 = 3 + 8 - 18 = -7
* x=0x = 0 のとき、y=3(0)4−8(0)3−18(0)2=0y = 3(0)^4 - 8(0)^3 - 18(0)^2 = 0
* x→1−x \to 1^{-} のとき、y→3(1)4−8(1)3−18(1)2=3−8−18=−23y \to 3(1)^4 - 8(1)^3 - 18(1)^2 = 3 - 8 - 18 = -23.
* 計算された yy の値の中で、最大値と最小値を特定します。ただし、x=1x=1は定義域に含まれないことに注意します。

3. 最終的な答え

(1) 最大値：15, 最小値：−193-\frac{19}{3}
(2) 最大値：5, 最小値：1
(3) 最大値：2, 最小値：-26
(4) 最大値：0, 最小値：-23 (x=1に近いところで、しかし定義域には含まれない) 最小値は存在しない（-23に限りなく近づく）

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