加法定理を用いて、以下の三角関数の値を求めます。 (1) $\sin 15^\circ$ (2) $\cos \frac{5}{12}\pi$ (3) $\tan \frac{7}{12}\pi$

1. 問題の内容

加法定理を用いて、以下の三角関数の値を求めます。

(1) $\sin 15^\circ$

(2) $\cos \frac{5}{12}\pi$

(3) $\tan \frac{7}{12}\pi$

2. 解き方の手順

(1) $\sin 15^\circ$について:

$15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$と考えることができます。

$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$の加法定理を用いると、

$\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(2) $\cos \frac{5}{12}\pi$について:

$\frac{5}{12}\pi = \frac{2}{12}\pi + \frac{3}{12}\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}$と考えることができます。

$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$の加法定理を用いると、

$\cos \frac{5}{12}\pi = \cos(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{4}$

$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(3) $\tan \frac{7}{12}\pi$について:

$\frac{7}{12}\pi = \frac{3}{12}\pi + \frac{4}{12}\pi = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}$と考えることができます。

$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$の加法定理を用いると、

$\tan \frac{7}{12}\pi = \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = \frac{\tan \frac{\pi}{4} + \tan \frac{\pi}{3}}{1 - \tan \frac{\pi}{4} \tan \frac{\pi}{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$

$= \frac{(1+\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(2) $\cos \frac{5}{12}\pi = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(3) $\tan \frac{7}{12}\pi = -2 - \sqrt{3}$