(1) 質量 $m$ の物体が等速直線運動をしているとき、座標原点の回りの物体の角運動量が変化しないことを示す。 (2) 質量 $m$ の物体が、半径 $r$ の円周上を角速度 $\omega$ で等速円運動しているとき、物体が回転の中心に対して持つ角運動量を求める。 (3) 地球が太陽をまわる軌道を円とし、その半径を $1.5 \times 10^8$ [km] とすれば、地球が太陽をまわる面積速度及び角運動量を求める。

1. 問題の内容

(1) 質量 $m$ の物体が等速直線運動をしているとき、座標原点の回りの物体の角運動量が変化しないことを示す。

(2) 質量 $m$ の物体が、半径 $r$ の円周上を角速度 $\omega$ で等速円運動しているとき、物体が回転の中心に対して持つ角運動量を求める。

(3) 地球が太陽をまわる軌道を円とし、その半径を $1.5 \times 10^8$ [km] とすれば、地球が太陽をまわる面積速度及び角運動量を求める。

2. 解き方の手順

(1) 等速直線運動における角運動量

物体の位置ベクトルを $\vec{r}$、速度ベクトルを $\vec{v}$ とすると、角運動量 $\vec{L}$ は

$\vec{L} = \vec{r} \times (m\vec{v})$

で与えられる。

等速直線運動なので、速度ベクトル $\vec{v}$ は時間的に一定である。位置ベクトル $\vec{r}$ は時間 $t$ とともに $\vec{r} = \vec{r_0} + \vec{v}t$ のように変化する。したがって、

$\vec{L} = (\vec{r_0} + \vec{v}t) \times (m\vec{v}) = \vec{r_0} \times (m\vec{v}) + (\vec{v}t) \times (m\vec{v}) = \vec{r_0} \times (m\vec{v})$

となる。なぜなら、同じベクトル同士の外積はゼロになるため $\vec{v} \times \vec{v} = 0$ だから。

したがって、角運動量 $\vec{L}$ は時間的に一定であり、変化しない。

(2) 等速円運動における角運動量

角運動量 $\vec{L}$ の大きさは、

$L = |\vec{r} \times (m\vec{v})| = rmv$

で与えられる。

等速円運動の場合、$v = r\omega$ なので、

$L = mr^2\omega$

となる。

(3) 地球が太陽をまわる面積速度と角運動量

面積速度 $\frac{dS}{dt}$ は、

$\frac{dS}{dt} = \frac{1}{2}r^2\omega$

で与えられる。

ここで、$r = 1.5 \times 10^8$ [km] $= 1.5 \times 10^{11}$ [m] である。

地球の公転周期 $T$ は 365日 = $365 \times 24 \times 60 \times 60$ 秒であるから、角速度 $\omega$ は

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

$\omega = \frac{2\pi}{365 \times 24 \times 60 \times 60} \approx 1.99 \times 10^{-7}$ [rad/s]

したがって、面積速度は、

$\frac{dS}{dt} = \frac{1}{2} (1.5 \times 10^{11})^2 (1.99 \times 10^{-7}) \approx 2.24 \times 10^{15}$ [m$^2$/s]

地球の質量 $m = 5.97 \times 10^{24}$ [kg] であるから、角運動量の大きさは

$L = mr^2\omega = (5.97 \times 10^{24}) (1.5 \times 10^{11})^2 (1.99 \times 10^{-7}) \approx 2.67 \times 10^{40}$ [kg m$^2$/s]

3. 最終的な答え

(1) 角運動量は変化しない。

(2) $L = mr^2\omega$

(3) 面積速度: $2.24 \times 10^{15}$ [m$^2$/s], 角運動量: $2.67 \times 10^{40}$ [kg m$^2$/s]