a, b, c は正の実数とする。以下の2つの不等式が常に成立するような実数 k の最大値を求める。 (1) $\sqrt{a + 2b + 3c} \geq k(\sqrt{2a} + \sqrt{3b} + \sqrt{2c})$ (2) $a^2 + b^2 + c^2 = 1$ ならば $a^3 + b^3 + c^3 \geq k(a + b + c)$

1. 問題の内容

a, b, c は正の実数とする。以下の2つの不等式が常に成立するような実数 k の最大値を求める。

(1) $\sqrt{a + 2b + 3c} \geq k(\sqrt{2a} + \sqrt{3b} + \sqrt{2c})$

(2) $a^2 + b^2 + c^2 = 1$ ならば $a^3 + b^3 + c^3 \geq k(a + b + c)$

2. 解き方の手順

(1)の場合

$a = 2x^2, b = 3y^2, c = 2z^2$ と置くと、

$\sqrt{2x^2 + 6y^2 + 6z^2} \geq k(2x + 3y + 2z)$

$\sqrt{2}\sqrt{x^2 + 3y^2 + 3z^2} \geq k(2x + 3y + 2z)$

ここで、$x = y = z$ とすると、

$\sqrt{2}\sqrt{7x^2} \geq k(7x)$

$\sqrt{14}x \geq 7kx$

$k \leq \frac{\sqrt{14}}{7} = \frac{\sqrt{14}}{7}$

$k \leq \sqrt{\frac{2}{7}}$

コーシー・シュワルツの不等式を使う。

$(\sqrt{a+2b+3c})^2 = (\sqrt{1} \sqrt{a} + \sqrt{2} \sqrt{b} + \sqrt{3} \sqrt{c})^2 \leq (1+2+3)(a+b+c) = 6(a+b+c)$

$(\sqrt{2a} + \sqrt{3b} + \sqrt{2c})^2 = (\sqrt{2} \sqrt{a} + \sqrt{3} \sqrt{b} + \sqrt{2} \sqrt{c})^2 \leq (2+3+2)(a+b+c) = 7(a+b+c)$

$k = \frac{\sqrt{14}}{7} = \sqrt{\frac{2}{7}}$ とする。

$\sqrt{a+2b+3c} \geq \sqrt{\frac{2}{7}}(\sqrt{2a}+\sqrt{3b}+\sqrt{2c})$

$(\sqrt{a+2b+3c})^2 \geq \frac{2}{7} (\sqrt{2a}+\sqrt{3b}+\sqrt{2c})^2$

$a+2b+3c \geq \frac{2}{7}(2a+3b+2c+2\sqrt{6ab} + 4\sqrt{ac} + 2\sqrt{6bc})$

$a=2, b=3, c=2$ を代入すると

$\sqrt{2+6+6} = \sqrt{14}$

$\sqrt{\frac{2}{7}}(\sqrt{4} + \sqrt{9} + \sqrt{4}) = \sqrt{\frac{2}{7}}(2+3+2) = \sqrt{\frac{2}{7}}(7) = \sqrt{14}$

(2)の場合

$a^2 + b^2 + c^2 = 1$ のとき、$a^3 + b^3 + c^3 \geq k(a+b+c)$ を示す。

$a+b+c=x$とおくと、$a^2+b^2+c^2=1$より、$x^2 = (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) = 1+2(ab+bc+ca)$

$ab+bc+ca = \frac{x^2-1}{2}$

$a,b,c > 0$より、$x>0$であり、$x^2=(a+b+c)^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2) = 3$。よって、$0<x \leq \sqrt{3}$

また、$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = x(1-\frac{x^2-1}{2}) = x\frac{3-x^2}{2}$

$a^3+b^3+c^3 = x\frac{3-x^2}{2}+3abc$

$k = \frac{1}{3}$とすると、$a^3+b^3+c^3 \geq \frac{1}{3}(a+b+c)$

$a^2+b^2+c^2=1$に$a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$を代入すると、$a+b+c=\frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$、$a^3+b^3+c^3=\frac{3}{3\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\frac{1}{\sqrt{3}} \geq k \sqrt{3} \implies k \leq \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{14}}{7}$

(2) $\frac{1}{3}$