内径 $d=52 \text{ mm}$、外径 $D=60 \text{ mm}$、はめあい長さ $l=47 \text{ mm}$ のスプライン軸に最大伝達トルク $T=700 \text{ N} \cdot \text{m}$ が作用する場合に必要な歯数 $z$ と内径 $d$ に生じるせん断応力 $\tau$ を求める。許容面圧力 $\sigma_c = 30 \text{ MPa}$、歯当たり係数 $\xi=0.6$ とする。

1. 問題の内容

内径 $d=52 \text{ mm}$、外径 $D=60 \text{ mm}$、はめあい長さ $l=47 \text{ mm}$ のスプライン軸に最大伝達トルク $T=700 \text{ N} \cdot \text{m}$ が作用する場合に必要な歯数 $z$ と内径 $d$ に生じるせん断応力 $\tau$ を求める。許容面圧力 $\sigma_c = 30 \text{ MPa}$、歯当たり係数 $\xi=0.6$ とする。

2. 解き方の手順

(1) 歯数 $z$ の計算

与えられた式を用いて歯数 $z$ を求める。

$T = \xi \cdot z \cdot \frac{D-d}{2} \cdot l \cdot \sigma_c \cdot \frac{D+d}{4}$

まず、単位をN・mmに統一する。$T = 700 \text{ N} \cdot \text{m} = 700 \times 1000 = 700000 \text{ N} \cdot \text{mm}$

式を $z$ について解く。

$z = \frac{T}{\xi \cdot \frac{D-d}{2} \cdot l \cdot \sigma_c \cdot \frac{D+d}{4}}$

$z = \frac{T}{\xi \cdot l \cdot \sigma_c \cdot \frac{(D-d)(D+d)}{8}}$

$z = \frac{700000}{0.6 \times 47 \times 30 \times \frac{(60-52)(60+52)}{8}}$

$z = \frac{700000}{0.6 \times 47 \times 30 \times \frac{8 \times 112}{8}}$

$z = \frac{700000}{0.6 \times 47 \times 30 \times 112}$

$z = \frac{700000}{94608} \approx 7.398$

歯数は整数である必要があるため、通常は切り上げて $z = 8$ とする。

(2) 軸の応力 $\tau$ の計算

与えられた式を用いて軸の応力 $\tau$ を求める。

$\tau = \frac{T}{\frac{\pi}{16} d^3 z_p}$

ここで、$z_p$ は歯数ではなく極数である。問題文から極数が与えられていないので、もしも極数 $p=1$ であると仮定すれば、

$\tau = \frac{16T}{\pi d^3 z}$

$\tau = \frac{16 \times 700000}{\pi \times 52^3 \times 8}$

$\tau = \frac{11200000}{\pi \times 140608 \times 8}$

$\tau = \frac{11200000}{3532668.13} = 3.17 \text{ MPa}$

3. 最終的な答え

歯数：8 [枚]

軸応力：3.17 [MPa]