回転速度 $n = 300 \text{ min}^{-1}$、比ねじれ角 $\theta/l = 0.25 \text{ [}^{\circ}\text{/m]}$ を許容して動力 $L = 4 \text{ kW}$ を伝達する軸の直径 $d \text{ [mm]}$ を求め、その時の軸に生じる応力 $\tau$ を求める。横弾性係数 $G = 81.4 \text{ GPa}$ とする。

## 数学の問題を解きます

1. 問題の内容

回転速度 $n = 300 \text{ min}^{-1}$、比ねじれ角 $\theta/l = 0.25 \text{ [}^{\circ}\text{/m]}$ を許容して動力 $L = 4 \text{ kW}$ を伝達する軸の直径 $d \text{ [mm]}$ を求め、その時の軸に生じる応力 $\tau$ を求める。横弾性係数 $G = 81.4 \text{ GPa}$ とする。

2. 解き方の手順

(1) 動力 $L$ の式から伝達トルク $T$ を求める。

動力の式は、

$L = \frac{2\pi n}{60} T$

と表されるので、トルク $T$ は、

$T = \frac{60L}{2\pi n}$

$L = 4 \text{ kW} = 4000 \text{ W}$, $n = 300 \text{ min}^{-1}$ を代入すると、

$T = \frac{60 \times 4000}{2\pi \times 300} = \frac{400}{\pi} \approx 127.32 \text{ N}\cdot\text{m}$

(2) ねじりこわさの式から軸径 $d$ を求める。

比ねじれ角 $\theta/l$ は $\text{rad/m}$ で表す必要がある。

$\theta/l = 0.25 \text{ [}^{\circ}\text{/m]} = 0.25 \times \frac{\pi}{180} \text{ rad/m} \approx 0.00436 \text{ rad/m}$

軸径 $d$ は、

$d = \sqrt[3]{\frac{16T}{\pi G (\theta/l)}}$

と求められる。ここで、$T = 127.32 \text{ N}\cdot\text{m} = 127.32 \times 10^3 \text{ N}\cdot\text{mm}$ 、$G = 81.4 \text{ GPa} = 81.4 \times 10^3 \text{ MPa} = 81.4 \times 10^3 \text{ N/mm}^2$、$\theta/l \approx 0.00436 \text{ rad/m}$ を代入すると、

$d = \sqrt[3]{\frac{16 \times 127.32 \times 10^3}{\pi \times 81.4 \times 10^3 \times 0.00436}} = \sqrt[3]{\frac{16 \times 127.32}{\pi \times 81.4 \times 0.00436}} \approx \sqrt[3]{1832.6} \approx 12.24 \text{ mm}$

(3) 強さに関する軸の応力 $\tau$ を求める。

$\tau = \frac{T}{Z_p} = \frac{16T}{\pi d^3}$

ここで、$T = 127.32 \times 10^3 \text{ N}\cdot\text{mm}$, $d \approx 12.24 \text{ mm}$ を代入すると、

$\tau = \frac{16 \times 127.32 \times 10^3}{\pi \times (12.24)^3} \approx \frac{2037.12 \times 10^3}{\pi \times 1832.6} \approx \frac{2037.12 \times 10^3}{5757.2} \approx 353.8 \text{ MPa}$

3. 最終的な答え

軸直径: 12.24 [mm], 軸応力: 353.8 [MPa]