薬物Aが0.80g含まれる懸濁液10mLの濃度が、4.0 w/v%になるまでに要する時間を求める問題です。薬物Aの分解は一次反応に従い、分解速度定数は0.040 $h^{-1}$、飽和溶解度は5.0 w/v%です。

1. 問題の内容

薬物Aが0.80g含まれる懸濁液10mLの濃度が、4.0 w/v%になるまでに要する時間を求める問題です。薬物Aの分解は一次反応に従い、分解速度定数は0.040 $h^{-1}$、飽和溶解度は5.0 w/v%です。

2. 解き方の手順

まず、初期濃度と最終濃度を計算します。

初期濃度は、0.80 g / 10 mL = 0.08 g/mL = 8.0 w/v%です。

最終濃度は、4.0 w/v%です。

一次反応における濃度変化は以下の式で表されます。

$ln(C_t) - ln(C_0) = -kt$

ここで、$C_t$は時刻tにおける濃度、$C_0$は初期濃度、$k$は速度定数、$t$は時間です。

問題文より溶解速度が分解速度に比べて十分速いため、溶解度を考慮し、分解反応は溶液中で飽和溶解度以下でのみ起こると考えられます。溶解度（5.0 w/v%）を超える8.0 w/v%から5.0 w/v%になるまでは、溶解が瞬時に起こるとみなします。そのため、5.0 w/v%からの分解を考えることになります。

したがって、初期濃度$C_0$を5.0 w/v%とし、最終濃度$C_t$を4.0 w/v%として式に代入します。

$ln(4.0) - ln(5.0) = -0.040t$

$ln(\frac{4.0}{5.0}) = -0.040t$

$ln(0.8) = -0.040t$

$ln(0.8)$は、$ln(\frac{4}{5}) = ln(\frac{2^2}{5}) = 2ln(2) - ln(5)$と変形できます。

さらに、$ln(5) = ln(\frac{10}{2}) = ln(10) - ln(2)$と変形できるため、

$2ln(2) - ln(5) = 2ln(2) - (ln(10) - ln(2)) = 3ln(2) - ln(10)$となります。

問題文より、$ln(2) = 0.69$、$ln(10) = 2.3$なので、

$3ln(2) - ln(10) = 3 \times 0.69 - 2.3 = 2.07 - 2.3 = -0.23$

したがって、$ln(0.8) = -0.23$

$-0.23 = -0.040t$

$t = \frac{0.23}{0.040} = \frac{23}{4} = 5.75$

次に、濃度が5.0 w/v%から4.0 w/v%になるまでの時間を計算します。

$ln(4.0) - ln(5.0) = -0.040t$

$t = \frac{ln(5.0) - ln(4.0)}{0.040} = \frac{ln(5/4)}{0.040} = \frac{ln(1.25)}{0.040}$

$ln(1.25)=ln(5/4)=ln(5)-ln(4)=ln(10/2)-ln(2*2)=ln(10)-ln(2)-2ln(2)=ln(10)-3ln(2)=2.3-3(0.69)=2.3-2.07=0.23$

よって、$t = \frac{0.23}{0.04} = 5.75$

最後に、溶解度を超える8.0 w/v%から5.0 w/v%になるまでの時間を考慮する必要はありません。

求めた時間は5.75時間なので、最も近い値は選択肢の中で26です。ただし、これは誤りです。溶解度を考慮した計算で、4.0 w/v%になるまでの時間が5.75時間と求まりました。しかし、問題文をよく読むと、溶解速度は分解速度よりも十分に速いと書かれています。これは、溶解過程の時間は無視できるほど短いことを意味します。初期濃度が飽和溶解度を超えているため、直ちに5.0 w/v%まで溶解し、その後の濃度変化は分解反応によって支配されます。

初期濃度：5.0 w/v%

最終濃度：4.0 w/v%

分解速度定数：0.040 $h^{-1}$

$ln(4.0) - ln(5.0) = -0.04t$

$ln(4/5) = -0.04t$

$ln(0.8) = -0.04t$

$t = \frac{-ln(0.8)}{0.04}$

$t = \frac{-ln(4/5)}{0.04}$

$t = \frac{ln(5/4)}{0.04}$

$t = \frac{ln(1.25)}{0.04}$

$t = \frac{ln(5) - ln(4)}{0.04} = \frac{ln(5) - 2ln(2)}{0.04}$

$t = \frac{ln(10/2) - 2ln(2)}{0.04} = \frac{ln(10) - ln(2) - 2ln(2)}{0.04} = \frac{ln(10) - 3ln(2)}{0.04}$

$t = \frac{2.3 - 3(0.69)}{0.04} = \frac{2.3 - 2.07}{0.04} = \frac{0.23}{0.04} = 5.75$

ただし、選択肢には5.75に近い数値がないため、計算ミスか近似値の誤りが考えられます。ln(0.8) ≒ -0.223なので、

t = 0.223 / 0.04 ≒ 5.575となります。

3. 最終的な答え

最も近い値は11（1番の選択肢）でも21（2番の選択肢）でも26（3番の選択肢）でも31（4番の選択肢）でも36（5番の選択肢）でもありません。しかし、5.75hに最も近い選択肢を選ぶと、11hとなります。

解答: 1