B国のマクロ経済において、フィリップス曲線 $\pi = \pi^e - 2(u-u^*)$ と損失関数 $l = 8\pi^2 + u$ が与えられています。ここで、$\pi$ はインフレ率、$\pi^e$ は期待インフレ率、$u$ は失業率、$u^*$ は自然失業率、$l$ は中央銀行の損失を表します。以下の4つの問いに答えます。 (1) 中央銀行が損失を最小にするように裁量的な金融政策を行うとき、インフレ率$\pi$ は何%になるか。 (2) (1)のとき、自然失業率 $u^* = 3\%$ のとき、中央銀行の損失 $l$ はいくらになるか。 (3) 中央銀行が2%のインフレターゲット政策を実施しているとき、自然失業率 $u^* = 3\%$ のとき、中央銀行の損失 $l$ はいくらになるか。 (4) (3)のとき、中央銀行が突然金融緩和をしてインフレ率4%を誘導する政策を行ったとき、自然失業率 $u^* = 3\%$ のとき、中央銀行の損失 $l$ はいくらになるか。

1. 問題の内容

B国のマクロ経済において、フィリップス曲線 $\pi = \pi^e - 2(u-u^*)$ と損失関数 $l = 8\pi^2 + u$ が与えられています。ここで、$\pi$ はインフレ率、$\pi^e$ は期待インフレ率、$u$ は失業率、$u^*$ は自然失業率、$l$ は中央銀行の損失を表します。以下の4つの問いに答えます。

(1) 中央銀行が損失を最小にするように裁量的な金融政策を行うとき、インフレ率$\pi$ は何%になるか。

(2) (1)のとき、自然失業率 $u^* = 3\%$ のとき、中央銀行の損失 $l$ はいくらになるか。

(3) 中央銀行が2%のインフレターゲット政策を実施しているとき、自然失業率 $u^* = 3\%$ のとき、中央銀行の損失 $l$ はいくらになるか。

(4) (3)のとき、中央銀行が突然金融緩和をしてインフレ率4%を誘導する政策を行ったとき、自然失業率 $u^* = 3\%$ のとき、中央銀行の損失 $l$ はいくらになるか。

2. 解き方の手順

(1) 損失を最小にするインフレ率を求める。

- 期待インフレ率が合理的期待で形成されるので、$\pi = \pi^e$ となる。

- フィリップス曲線は $\pi = \pi - 2(u - u^*)$ となり、$u = u^*$ となる。

- 損失関数 $l = 8\pi^2 + u^*$ を最小化するために、$\pi$ に関して微分する。

- $\frac{dl}{d\pi} = 16\pi = 0$ より、$\pi = 0$ となる。

- したがって、インフレ率は 0% となる。

(2) 自然失業率が3%のときの損失を求める。

- (1)より $\pi = 0$ であり、$u^* = 3\% = 0.03$ である。

- 損失関数 $l = 8\pi^2 + u^*$ に代入すると、$l = 8(0)^2 + 0.03 = 0.03$ となる。

(3) インフレターゲットが2%のときの損失を求める。

- インフレターゲットが2%なので、$\pi = 2\% = 0.02$ となる。

- 自然失業率が3%なので、$u^* = 3\% = 0.03$ となる。

- フィリップス曲線より、$0.02 = \pi^e - 2(u - 0.03)$ となる。合理的期待形成より$\pi^e = 0.02$だから、$0.02 = 0.02 - 2(u - 0.03)$ となり、$u = 0.03$

- 損失関数 $l = 8\pi^2 + u^*$ に代入すると、$l = 8(0.02)^2 + 0.03 = 8(0.0004) + 0.03 = 0.0032 + 0.03 = 0.0332$ となる。

(4) インフレ率4%を誘導したときの損失を求める。

- インフレ率が4%なので、$\pi = 4\% = 0.04$ となる。

- 自然失業率が3%なので、$u^* = 3\% = 0.03$ となる。

- フィリップス曲線より、$0.04 = \pi^e - 2(u - 0.03)$。合理的期待形成を仮定すると、$\pi^e = 0.02$は成立せず、$\pi^e$は不明。しかし、$u$を損失関数に代入すれば良いので、直接計算する必要はない。

- 損失関数 $l = 8\pi^2 + u$ に代入すると、$0.04 = \pi^e - 2(u - 0.03) \implies 2(u-0.03)=\pi^e-0.04 \implies u = \frac{\pi^e-0.04}{2}+0.03$

- 損失関数 $l = 8(0.04)^2+u = 8(0.0016)+u=0.0128+u=0.0128+\frac{\pi^e-0.04}{2}+0.03=0.0428+\frac{\pi^e-0.04}{2}$.合理的期待が成立しているかどうかの情報がないため、この問題は解けません。ただし、仮に$\pi^e=\pi=0.04$とすれば、$u=0.03$となり、$l = 8(0.04)^2 + 0.03 = 8(0.0016) + 0.03 = 0.0128 + 0.03 = 0.0428$ となる。

- もし $\pi^e=0.02$のままなら、$u = \frac{0.02-0.04}{2} + 0.03 = -0.01+0.03=0.02$. $l=8\pi^2+u = 8(0.04)^2+0.02=8(0.0016)+0.02=0.0128+0.02=0.0328$

3. 最終的な答え

(1) 0.00 %

(2) 0.0300

(3) 0.0332

(4) $\pi^e$の値によって異なる。$\pi^e=\pi=0.04$とすると0.

0

4

2

8. $\pi^e=0.02$のままなら0.0328.合理的期待形成が崩れているため，$\pi^e$の値が与えられない限り唯一の答えを出すことができない。