定積分 $\int_{0}^{1} (x-1)e^{-x} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} (x-1)e^{-x} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開する。

$\int_{0}^{1} (x-1)e^{-x} dx = \int_{0}^{1} xe^{-x} dx - \int_{0}^{1} e^{-x} dx$

次に、それぞれの積分を計算する。

$\int_{0}^{1} e^{-x} dx$ は簡単に計算できる。

$\int_{0}^{1} e^{-x} dx = [-e^{-x}]_{0}^{1} = -e^{-1} - (-e^{0}) = 1 - e^{-1}$

$\int_{0}^{1} xe^{-x} dx$ は部分積分を用いて計算する。

$u = x$、$dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = dx$、$v = -e^{-x}$ となる。

したがって、

$\int_{0}^{1} xe^{-x} dx = [-xe^{-x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} -e^{-x} dx = [-xe^{-x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{-x} dx$

$= [-xe^{-x}]_{0}^{1} + [-e^{-x}]_{0}^{1} = (-1 \cdot e^{-1} - 0) + (-e^{-1} - (-e^{0})) = -e^{-1} - e^{-1} + 1 = 1 - 2e^{-1}$

元の積分は、

$\int_{0}^{1} (x-1)e^{-x} dx = \int_{0}^{1} xe^{-x} dx - \int_{0}^{1} e^{-x} dx = (1 - 2e^{-1}) - (1 - e^{-1}) = 1 - 2e^{-1} - 1 + e^{-1} = -e^{-1} = -\frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{e}$