与えられた8個の微分方程式の一般解を求める問題です。ただし、$a, b, c$は定数とします。 (1) $\frac{dy}{dx} = x(2-y)$ (2) $y^2 \frac{dy}{dx} = -x^2$ (3) $\frac{dy}{dx} + ay = b$ (4) $\frac{dy}{dx} = 1 - y^2$ (5) $\frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x} = x^2$ (6) $\frac{dy}{dx} + 4y = e^{3x}$ (7) $\frac{dy}{dx} + (\tan x)y = 2x\cos x$ (8) $\frac{dy}{dx} + ay = 2a\cos ax$

はい、承知いたしました。微分方程式の問題ですね。画像にある8個の微分方程式について、それぞれ一般解を求めます。

1. 問題の内容

与えられた8個の微分方程式の一般解を求める問題です。ただし、$a, b, c$は定数とします。

(1) $\frac{dy}{dx} = x(2-y)$

(2) $y^2 \frac{dy}{dx} = -x^2$

(3) $\frac{dy}{dx} + ay = b$

(4) $\frac{dy}{dx} = 1 - y^2$

(5) $\frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x} = x^2$

(6) $\frac{dy}{dx} + 4y = e^{3x}$

(7) $\frac{dy}{dx} + (\tan x)y = 2x\cos x$

(8) $\frac{dy}{dx} + ay = 2a\cos ax$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{dy}{dx} = x(2-y)$

変数分離形です。

$\frac{dy}{2-y} = x dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{2-y} = \int x dx$

$-\ln|2-y| = \frac{x^2}{2} + C$

$\ln|2-y| = -\frac{x^2}{2} - C$

$|2-y| = e^{-\frac{x^2}{2} - C} = e^{-C}e^{-\frac{x^2}{2}}$

$2-y = \pm e^{-C}e^{-\frac{x^2}{2}} = Ke^{-\frac{x^2}{2}}$ ($K$は任意定数)

$y = 2 - Ke^{-\frac{x^2}{2}}$

(2) $y^2 \frac{dy}{dx} = -x^2$

変数分離形です。

$y^2 dy = -x^2 dx$

両辺を積分します。

$\int y^2 dy = \int -x^2 dx$

$\frac{y^3}{3} = -\frac{x^3}{3} + C$

$y^3 = -x^3 + 3C$

$y^3 = -x^3 + K$ ($K=3C$は任意定数)

$y = \sqrt[3]{-x^3+K}$

(3) $\frac{dy}{dx} + ay = b$

1階線形微分方程式です。積分因子を求めます。

$e^{\int a dx} = e^{ax}$

両辺に$e^{ax}$を掛けます。

$e^{ax}\frac{dy}{dx} + ae^{ax}y = be^{ax}$

$\frac{d}{dx}(ye^{ax}) = be^{ax}$

両辺を積分します。

$\int \frac{d}{dx}(ye^{ax}) dx = \int be^{ax} dx$

$ye^{ax} = \frac{b}{a}e^{ax} + C$

$y = \frac{b}{a} + Ce^{-ax}$

(4) $\frac{dy}{dx} = 1 - y^2$

変数分離形です。

$\frac{dy}{1-y^2} = dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{1-y^2} = \int dx$

$\int \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1-y} + \frac{1}{1+y} \right) dy = \int dx$

$\frac{1}{2}(-\ln|1-y| + \ln|1+y|) = x + C$

$\ln|\frac{1+y}{1-y}| = 2x + 2C$

$\frac{1+y}{1-y} = Ke^{2x}$ ($K = \pm e^{2C}$は任意定数)

$1+y = Ke^{2x}(1-y)$

$1+y = Ke^{2x} - Ke^{2x}y$

$y(1+Ke^{2x}) = Ke^{2x} - 1$

$y = \frac{Ke^{2x}-1}{Ke^{2x}+1}$

(5) $\frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x} = x^2$

1階線形微分方程式です。積分因子を求めます。

$e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2\ln x} = e^{\ln x^{-2}} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$

両辺に$\frac{1}{x^2}$を掛けます。

$\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x^3} = 1$

$\frac{d}{dx}(\frac{y}{x^2}) = 1$

両辺を積分します。

$\int \frac{d}{dx}(\frac{y}{x^2}) dx = \int 1 dx$

$\frac{y}{x^2} = x + C$

$y = x^3 + Cx^2$

(6) $\frac{dy}{dx} + 4y = e^{3x}$

1階線形微分方程式です。積分因子を求めます。

$e^{\int 4 dx} = e^{4x}$

両辺に$e^{4x}$を掛けます。

$e^{4x}\frac{dy}{dx} + 4e^{4x}y = e^{7x}$

$\frac{d}{dx}(ye^{4x}) = e^{7x}$

両辺を積分します。

$\int \frac{d}{dx}(ye^{4x}) dx = \int e^{7x} dx$

$ye^{4x} = \frac{1}{7}e^{7x} + C$

$y = \frac{1}{7}e^{3x} + Ce^{-4x}$

(7) $\frac{dy}{dx} + (\tan x)y = 2x\cos x$

1階線形微分方程式です。積分因子を求めます。

$e^{\int \tan x dx} = e^{\int \frac{\sin x}{\cos x} dx} = e^{-\ln|\cos x|} = e^{\ln|\cos x|^{-1}} = \frac{1}{|\cos x|}$

区間を限定すれば$\frac{1}{\cos x}$

両辺に$\frac{1}{\cos x}$を掛けます。

$\frac{1}{\cos x}\frac{dy}{dx} + \frac{\sin x}{\cos^2 x}y = 2x$

$\frac{d}{dx}(\frac{y}{\cos x}) = 2x$

両辺を積分します。

$\int \frac{d}{dx}(\frac{y}{\cos x}) dx = \int 2x dx$

$\frac{y}{\cos x} = x^2 + C$

$y = (x^2 + C)\cos x$

(8) $\frac{dy}{dx} + ay = 2a\cos ax$

1階線形微分方程式です。積分因子を求めます。

$e^{\int a dx} = e^{ax}$

両辺に$e^{ax}$を掛けます。

$e^{ax}\frac{dy}{dx} + ae^{ax}y = 2ae^{ax}\cos ax$

$\frac{d}{dx}(ye^{ax}) = 2ae^{ax}\cos ax$

両辺を積分します。

$\int \frac{d}{dx}(ye^{ax}) dx = \int 2ae^{ax}\cos ax dx$

$ye^{ax} = 2a\int e^{ax}\cos ax dx$

$I = \int e^{ax}\cos ax dx$と置きます。

部分積分を行います。

$I = \frac{1}{a}e^{ax}\cos ax + \int e^{ax}\sin ax dx$

$I = \frac{1}{a}e^{ax}\cos ax + \frac{1}{a}e^{ax}\sin ax - \int e^{ax}\cos ax dx$

$I = \frac{1}{a}e^{ax}\cos ax + \frac{1}{a}e^{ax}\sin ax - I$

$2I = \frac{1}{a}e^{ax}\cos ax + \frac{1}{a}e^{ax}\sin ax$

$I = \frac{1}{2a}e^{ax}(\cos ax + \sin ax)$

$ye^{ax} = 2a \cdot \frac{1}{2a}e^{ax}(\cos ax + \sin ax) + C$

$ye^{ax} = e^{ax}(\cos ax + \sin ax) + C$

$y = \cos ax + \sin ax + Ce^{-ax}$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2 - Ke^{-\frac{x^2}{2}}$

(2) $y = \sqrt[3]{-x^3+K}$

(3) $y = \frac{b}{a} + Ce^{-ax}$

(4) $y = \frac{Ke^{2x}-1}{Ke^{2x}+1}$

(5) $y = x^3 + Cx^2$

(6) $y = \frac{1}{7}e^{3x} + Ce^{-4x}$

(7) $y = (x^2 + C)\cos x$

(8) $y = \cos ax + \sin ax + Ce^{-ax}$