$\int_{0}^{\pi} (x+1) \cos x dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{\pi} (x+1) \cos x dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この積分は、部分積分を用いて解きます。部分積分は、$\int u dv = uv - \int v du$ で与えられます。

まず、$\int (x+1) \cos x dx$ を計算します。

$u = x+1$ と $dv = \cos x dx$ とおくと、

$du = dx$ と $v = \int \cos x dx = \sin x$ となります。

部分積分の公式に当てはめると、

$\int (x+1) \cos x dx = (x+1) \sin x - \int \sin x dx$

$= (x+1) \sin x - (-\cos x) + C$

$= (x+1) \sin x + \cos x + C$

したがって、

$\int_{0}^{\pi} (x+1) \cos x dx = [(x+1) \sin x + \cos x]_{0}^{\pi}$

$= [(\pi+1) \sin \pi + \cos \pi] - [(0+1) \sin 0 + \cos 0]$

$= [(\pi+1)(0) + (-1)] - [(1)(0) + 1]$

$= [0 - 1] - [0 + 1]$

$= -1 - 1$

$= -2$

3. 最終的な答え

-2