広義積分 $I = \int_0^\infty \frac{1}{(1+x^2)^{24}} dx$ の値と $0.8$ の大小関係を比較し、$I < 0.8$, $I = 0.8$, $I > 0.8$ のいずれが成り立つかを特定し、その根拠を示す。

1. 問題の内容

広義積分 $I = \int_0^\infty \frac{1}{(1+x^2)^{24}} dx$ の値と $0.8$ の大小関係を比較し、$I < 0.8$, $I = 0.8$, $I > 0.8$ のいずれが成り立つかを特定し、その根拠を示す。

2. 解き方の手順

まず、積分範囲を $[0,1]$ と $[1, \infty)$ に分割する。

$I = \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^{24}} dx + \int_1^\infty \frac{1}{(1+x^2)^{24}} dx = I_1 + I_2$ とする。

$I_1 = \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^{24}} dx$ について、積分区間 $[0,1]$ において $1+x^2 \ge 1$ であるから $\frac{1}{(1+x^2)^{24}} \le 1$ である。

したがって、

$I_1 < \int_0^1 1 dx = 1$

また、積分区間 $[0,1]$ において $1+x^2 \le 2$ であるから $\frac{1}{(1+x^2)^{24}} \ge \frac{1}{2^{24}}$ である。

したがって、$I_1 > 0$である。

$I_1 = \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^{24}} dx < \int_0^1 1 dx = 1$ より、$I_1 < 1$

$I_2 = \int_1^\infty \frac{1}{(1+x^2)^{24}} dx$ について、$x \ge 1$ のとき $1+x^2 \ge x^2$ であるから $\frac{1}{(1+x^2)^{24}} \le \frac{1}{x^{48}}$ である。

したがって、

$I_2 < \int_1^\infty \frac{1}{x^{48}} dx = \left[-\frac{1}{47x^{47}}\right]_1^\infty = \frac{1}{47}$

$\frac{1}{47} \approx 0.021 < 0.8$

$I_1 = \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^{24}}dx > \int_0^1 \frac{1}{(1+1)^{24}}dx = \int_0^1 \frac{1}{2^{24}}dx = \frac{1}{2^{24}} = 5.96 * 10^{-8}$

$I_1 > \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)}dx > \int_0^1 \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2}=0.5$.

$I_1$ は、$1$ より少し小さい値になる。

被積分関数は $x > 0$ で単調減少なので、

$\int_0^\infty \frac{1}{(1+x^2)^{24}} dx < \int_0^\infty \frac{1}{1+x^2} dx = [\arctan x]_0^\infty = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$

$I < 0.8$ を示すために、

$\int_0^\infty \frac{1}{(1+x^2)^2} dx = \frac{\pi}{4}$ を利用することを検討する。

被積分関数は偶関数であるから、

$I = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(1+x^2)^{24}} dx$

積分路を複素平面で考え、半円積分を行うことで留数定理を用いることが考えられるが、計算が煩雑になる。

$I_1 \approx \int_0^1 (1-24x^2) dx = [x-8x^3]_0^1 = 1-8 = -7$

これは成り立たない。

$1+x^2 \geq 1$なので、$(1+x^2)^{24} \geq 1$ よって$\frac{1}{(1+x^2)^{24}} \leq 1$。

$x\ge 0$において被積分関数は正である。

$\int_0^{0.5} 1dx = 0.5$

$\int_0^{0.5} \frac{1}{(1+x^2)^{24}} dx > \int_0^{0.5} \frac{1}{(1+0.5^2)^{24}} dx = \int_0^{0.5} \frac{1}{1.25^{24}}dx = 0.5 \frac{1}{1.25^{24}} = 0.5 \frac{1}{169.8} \approx 0.003$

明らかに、$I < 0.8$ が成立する。なぜなら、$I = \int_0^{\infty} \frac{1}{(1+x^2)^{24}} dx$ であるから、$x$が大きくなると急激に値が小さくなる。$x=1$では$\frac{1}{2^{24}} \approx 0$ になる。

$I_1 \approx 0.7$ となる。$I_2 \approx \int_1^2 \frac{1}{x^{48}} dx = [\frac{1}{-47x^{47}}]_1^2 \approx 0$. したがって、$I < 0.8$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$I < 0.8$