与えられた定積分を計算します。積分は、 $\int_1^2 (2x+1) \log|x| dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。積分は、

$\int_1^2 (2x+1) \log|x| dx$

です。

2. 解き方の手順

まず、積分区間 $1 \leq x \leq 2$ において、$x$ は正であるため、$|x| = x$ となります。したがって、積分は

$\int_1^2 (2x+1) \log x dx$

となります。

部分積分を用いて解きます。$u = \log x$ と $dv = (2x+1)dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x}dx$ と $v = x^2+x$ となります。部分積分の公式は

$\int u dv = uv - \int v du$

なので、

$\int_1^2 (2x+1) \log x dx = [(x^2+x) \log x]_1^2 - \int_1^2 (x^2+x) \frac{1}{x} dx$

$= [(x^2+x) \log x]_1^2 - \int_1^2 (x+1) dx$

$= [(x^2+x) \log x]_1^2 - [\frac{x^2}{2} + x]_1^2$

ここで、

$[(x^2+x) \log x]_1^2 = (2^2+2) \log 2 - (1^2+1) \log 1 = 6 \log 2 - 2 \log 1 = 6 \log 2 - 0 = 6 \log 2$

そして、

$[\frac{x^2}{2} + x]_1^2 = (\frac{2^2}{2} + 2) - (\frac{1^2}{2} + 1) = (2+2) - (\frac{1}{2} + 1) = 4 - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$

したがって、

$\int_1^2 (2x+1) \log x dx = 6 \log 2 - \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

$6 \log 2 - \frac{5}{2}$