$f(x)$ は区間 $[0, 1]$ で連続な関数であり、$f(0) > 0$ かつ $f(1) < 1$ であるとき、方程式 $f(x) = x$ が区間 $(0, 1)$ に少なくとも1つの実数解をもつことを証明せよ。

1. 問題の内容

$f(x)$ は区間 $[0, 1]$ で連続な関数であり、$f(0) > 0$ かつ $f(1) < 1$ であるとき、方程式 $f(x) = x$ が区間 $(0, 1)$ に少なくとも1つの実数解をもつことを証明せよ。

2. 解き方の手順

まず、$g(x) = f(x) - x$ という関数を定義します。

$f(x)$ が区間 $[0, 1]$ で連続なので、$g(x)$ も区間 $[0, 1]$ で連続です。

次に、$g(0)$ と $g(1)$ の値を評価します。

$g(0) = f(0) - 0 = f(0)$ ですが、$f(0) > 0$ なので、$g(0) > 0$ です。

$g(1) = f(1) - 1$ ですが、$f(1) < 1$ なので、$g(1) < 0$ です。

したがって、$g(0) > 0$ かつ $g(1) < 0$ となります。

ここで、中間値の定理を適用します。中間値の定理とは、区間 $[a, b]$ で連続な関数 $h(x)$ について、$h(a)$ と $h(b)$ の間の任意の値 $k$ に対して、$h(c) = k$ となる $c$ が区間 $(a, b)$ に少なくとも1つ存在する、というものです。

$g(x)$ は区間 $[0, 1]$ で連続であり、$g(0) > 0$ かつ $g(1) < 0$ なので、中間値の定理より、$g(c) = 0$ となる $c$ が区間 $(0, 1)$ に少なくとも1つ存在します。

すなわち、$f(c) - c = 0$ となる $c$ が区間 $(0, 1)$ に少なくとも1つ存在します。

これは、$f(c) = c$ となる $c$ が区間 $(0, 1)$ に少なくとも1つ存在することを意味します。

したがって、方程式 $f(x) = x$ は区間 $(0, 1)$ に少なくとも1つの実数解を持ちます。

3. 最終的な答え

方程式 $f(x) = x$ は区間 $(0, 1)$ に少なくとも1つの実数解を持つ。