定積分 $\int_{1}^{e} x^2 \log |x| \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{e} x^2 \log |x| \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、部分積分を使って積分を計算します。

$u = \log |x|$ と $dv = x^2 \, dx$ とおきます。

すると、$du = \frac{1}{x} \, dx$ と $v = \frac{x^3}{3}$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を使うと、

$\int x^2 \log |x| \, dx = \frac{x^3}{3} \log |x| - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx$

$= \frac{x^3}{3} \log |x| - \int \frac{x^2}{3} \, dx$

$= \frac{x^3}{3} \log |x| - \frac{x^3}{9} + C$

したがって、定積分は

$\int_{1}^{e} x^2 \log |x| \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \log |x| - \frac{x^3}{9} \right]_{1}^{e}$

$= \left( \frac{e^3}{3} \log e - \frac{e^3}{9} \right) - \left( \frac{1}{3} \log 1 - \frac{1}{9} \right)$

$= \left( \frac{e^3}{3} - \frac{e^3}{9} \right) - \left( 0 - \frac{1}{9} \right)$

$= \frac{3e^3 - e^3}{9} + \frac{1}{9}$

$= \frac{2e^3}{9} + \frac{1}{9}$

$= \frac{2e^3 + 1}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{2e^3 + 1}{9}$