与えられた区分的に定義された関数 $f(t)$ のラプラス変換を求める問題です。 $f(t)$ は $0 < t < 3$ で $0$、 $t \geq 3$ で $(t-3)^2$ と定義されています。

1. 問題の内容

与えられた区分的に定義された関数 $f(t)$ のラプラス変換を求める問題です。

$f(t)$ は $0 < t < 3$ で $0$、 $t \geq 3$ で $(t-3)^2$ と定義されています。

2. 解き方の手順

ラプラス変換の定義より、$f(t)$ のラプラス変換 $F(s)$ は次の式で与えられます。

$F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t) dt$

与えられた関数 $f(t)$ を代入すると、

$F(s) = \int_0^3 e^{-st} (0) dt + \int_3^\infty e^{-st} (t-3)^2 dt = \int_3^\infty e^{-st} (t-3)^2 dt$

ここで、$u = t - 3$ と変数変換すると、$t = u + 3$、$dt = du$ となり、積分範囲は $u=0$ から $\infty$ となります。したがって、

$F(s) = \int_0^\infty e^{-s(u+3)} u^2 du = e^{-3s} \int_0^\infty e^{-su} u^2 du$

ここで、$\int_0^\infty e^{-su} u^2 du$ は $u^2$ のラプラス変換であり、$\mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}}$ の公式を使うと、$n=2$ なので、

$\int_0^\infty e^{-su} u^2 du = \frac{2!}{s^{2+1}} = \frac{2}{s^3}$

したがって、$F(s)$ は次のようになります。

$F(s) = e^{-3s} \frac{2}{s^3} = \frac{2e^{-3s}}{s^3}$

3. 最終的な答え

$F(s) = \frac{2e^{-3s}}{s^3}$