質量 $m$ の質点Pが、原点からの距離 $r$ に応じて $-\frac{GMm}{r^2} \vec{e}$ の力を受けて運動している。ここで、$\vec{e}$ は質点Pの位置ベクトルと同じ向きの単位ベクトルである。時刻 $t=0$ での質点Pの位置は $P_0(9, -4, 10)$、速度は $v_0 = (4, 6, -1)$ である。ただし、$m=5$, $GM=9$ である。この系の力学的エネルギー $E_0$ の値を小数点以下2桁まで求めよ。ただし、無限遠での位置エネルギーは0とする。

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点Pが、原点からの距離 $r$ に応じて $-\frac{GMm}{r^2} \vec{e}$ の力を受けて運動している。ここで、$\vec{e}$ は質点Pの位置ベクトルと同じ向きの単位ベクトルである。時刻 $t=0$ での質点Pの位置は $P_0(9, -4, 10)$、速度は $v_0 = (4, 6, -1)$ である。ただし、$m=5$, $GM=9$ である。この系の力学的エネルギー $E_0$ の値を小数点以下2桁まで求めよ。ただし、無限遠での位置エネルギーは0とする。

2. 解き方の手順

力学的エネルギー $E_0$ は、運動エネルギー $K$ と位置エネルギー $U$ の和で与えられます。

$E_0 = K + U$

時刻 $t=0$ での位置と速度が与えられているので、この時刻における運動エネルギーと位置エネルギーを計算します。

まず、位置 $P_0$ から原点までの距離 $r$ を計算します。

$r = \sqrt{9^2 + (-4)^2 + 10^2} = \sqrt{81 + 16 + 100} = \sqrt{197}$

次に、速度 $v_0$ の大きさ $v$ を計算します。

$v = \sqrt{4^2 + 6^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 36 + 1} = \sqrt{53}$

運動エネルギー $K$ は、

$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 53 = \frac{265}{2} = 132.5$

位置エネルギー $U$ は、

$U = -\frac{GMm}{r} = -\frac{9 \times 5}{\sqrt{197}} = -\frac{45}{\sqrt{197}}$

$\sqrt{197} \approx 14.0356688$ なので、

$U \approx -\frac{45}{14.0356688} \approx -3.206$

したがって、力学的エネルギー $E_0$ は、

$E_0 = K + U = 132.5 - \frac{45}{\sqrt{197}} \approx 132.5 - 3.206 = 129.294$

小数点以下2桁まで求めると、$E_0 \approx 129.29$

3. 最終的な答え

129.29