シクロブタンガス（C4H8）からエチレンガス（C2H4）への分解反応におけるアレニウスパラメータ $\log(A) = 15.6$ （Aの単位は s^-1）、活性化エネルギー $E_a = 261 \text{ kJ mol}^{-1}$ である。20℃の場合と比べ、30℃の場合、シクロブタンの半減期は何倍になるか求めよ。

1. 問題の内容

シクロブタンガス（C4H8）からエチレンガス（C2H4）への分解反応におけるアレニウスパラメータ $\log(A) = 15.6$ （Aの単位は s^-1）、活性化エネルギー $E_a = 261 \text{ kJ mol}^{-1}$ である。20℃の場合と比べ、30℃の場合、シクロブタンの半減期は何倍になるか求めよ。

2. 解き方の手順

まず、アレニウスの式を用いて反応速度定数 $k$ を求める。アレニウスの式は以下のように表される。

$k = A \exp\left(-\frac{E_a}{RT}\right)$

ここで、$k$は反応速度定数、$A$は頻度因子、$E_a$は活性化エネルギー、$R$は気体定数、$T$は絶対温度である。

問題で与えられているのは $\log(A)$ の値なので、$A$ を計算する必要がある。

$A = 10^{\log(A)} = 10^{15.6}$

次に、20℃（293 K）と30℃（303 K）における反応速度定数 $k_1$ と $k_2$ を計算する。

$T_1 = 20^\circ\text{C} = 293\text{ K}$

$T_2 = 30^\circ\text{C} = 303\text{ K}$

$E_a = 261\text{ kJ mol}^{-1} = 261000\text{ J mol}^{-1}$

$R = 8.314\text{ J mol}^{-1} \text{K}^{-1}$

$k_1 = A \exp\left(-\frac{E_a}{RT_1}\right) = 10^{15.6} \exp\left(-\frac{261000}{8.314 \times 293}\right)$

$k_2 = A \exp\left(-\frac{E_a}{RT_2}\right) = 10^{15.6} \exp\left(-\frac{261000}{8.314 \times 303}\right)$

一次反応における半減期 $t_{1/2}$ は、反応速度定数 $k$ と以下の関係がある。

$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}$

したがって、20℃と30℃における半減期 $t_{1/2,1}$ と $t_{1/2,2}$ はそれぞれ

$t_{1/2,1} = \frac{\ln 2}{k_1}$

$t_{1/2,2} = \frac{\ln 2}{k_2}$

半減期の比を計算する。

$\frac{t_{1/2,1}}{t_{1/2,2}} = \frac{\frac{\ln 2}{k_1}}{\frac{\ln 2}{k_2}} = \frac{k_2}{k_1} = \frac{A \exp\left(-\frac{E_a}{RT_2}\right)}{A \exp\left(-\frac{E_a}{RT_1}\right)} = \exp\left(\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right)\right)$

$\frac{t_{1/2,1}}{t_{1/2,2}} = \exp\left(\frac{261000}{8.314}\left(\frac{1}{293} - \frac{1}{303}\right)\right) = \exp\left(31392.8 \times (0.003413 - 0.003300)\right) = \exp(31392.8 \times 0.000113) = \exp(3.547) \approx 34.7$

3. 最終的な答え

20℃の場合と比べ、30℃の場合、シクロブタンの半減期は約34.7倍になる。