$f_x = 3x^2y + y^3 - y$ $f_y = x^3 + 3xy^2 - x$

## 問題の回答

以下、画像に示された問題について、順番に解答します。

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1. 問題の内容

* **問題1 (1)**: 関数 $f(x, y) = xy(x^2 + y^2 - 1)$ の極値を求める。

* **問題1 (3)**: 関数 $f(x, y) = e^{-(x^2+y^2)}(ax^2 + by^2)$ ($a > b > 0$) の極値を求める。

* **問題2 (1)**: 関数 $f(x, y) = x^4 + y^4 - 2x^2 + 4xy - 2y^2$ の極値を求める。

* **問題3**: 制約条件 $x^3 - 3xy + y^3 = 0$ のもとで、関数 $f(x, y) = x^2 + y^2$ の極値を求める。

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2. 解き方の手順と答え

**問題1 (1)**

1. **偏導関数を求める**:

$f_x = 3x^2y + y^3 - y$

$f_y = x^3 + 3xy^2 - x$

2. **連立方程式を解く**:

$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を満たす $(x, y)$ を求める。

$y(3x^2 + y^2 - 1) = 0$

$x(x^2 + 3y^2 - 1) = 0$

この連立方程式の解は $(0, 0), (\pm 1, 0), (0, \pm 1), (\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2})$ (複合任意).

3. **ヘッセ行列式を求める**:

$f_{xx} = 6xy$

$f_{yy} = 6xy$

$f_{xy} = 3x^2 + 3y^2 - 1$

$D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 36x^2y^2 - (3x^2 + 3y^2 - 1)^2$

4. **極値の判定**:

* $(0, 0)$: $D = -1 < 0$ より、極値ではない。

* $(\pm 1, 0), (0, \pm 1)$: $D = -4 < 0$ より、極値ではない。

* $(\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2})$: $D = 36(\frac{1}{16}) - (\frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 1)^2 = \frac{9}{4} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = 2 > 0$

* $f_{xx} = 6(\pm \frac{1}{2})(\pm \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} > 0$ なので、極小値。$f(\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2}) = (\pm \frac{1}{2})(\pm \frac{1}{2})(2(\frac{1}{4}) - 1) = \frac{1}{4}(\frac{1}{2} - 1) = - \frac{1}{8}$

* $(\pm \frac{1}{2}, \mp \frac{1}{2})$: $D = 36(\frac{1}{16}) - (\frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 1)^2 = \frac{9}{4} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = 2 > 0$

* $f_{xx} = 6(\pm \frac{1}{2})(\mp \frac{1}{2}) = -\frac{3}{2} < 0$ なので、極大値。$f(\pm \frac{1}{2}, \mp \frac{1}{2}) = (\pm \frac{1}{2})(\mp \frac{1}{2})(2(\frac{1}{4}) - 1) = - \frac{1}{4}(\frac{1}{2} - 1) = \frac{1}{8}$

**問題1 (1) の答え**:

極小値: -1/8

極大値: 1/8

**問題1 (3)**

1. **偏導関数を求める**:

$f_x = e^{-(x^2+y^2)} (2ax - 2x(ax^2 + by^2)) = 2xe^{-(x^2+y^2)} (a - (ax^2 + by^2))$

$f_y = e^{-(x^2+y^2)} (2by - 2y(ax^2 + by^2)) = 2ye^{-(x^2+y^2)} (b - (ax^2 + by^2))$

2. **連立方程式を解く**:

$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を満たす $(x, y)$ を求める。

$2xe^{-(x^2+y^2)} (a - (ax^2 + by^2)) = 0$

$2ye^{-(x^2+y^2)} (b - (ax^2 + by^2)) = 0$

この連立方程式の解は $(0, 0), (\pm \sqrt{\frac{a-b}{a^2-b^2}}, \pm \sqrt{\frac{a-b}{a^2-b^2}})$.

これは計算すると、

$(0, 0), (\pm \sqrt{1/{(a+b)}}, 0), (0, \pm \sqrt{1/{(a+b)}})$.

3. **極値の判定**:

* $(0, 0)$: $f(0,0) = 0$

* $(\pm \sqrt{1/(a+b)}, 0)$: $f(\pm \sqrt{1/(a+b)}, 0) = e^{-1/(a+b)} a/(a+b)$

* $(0, \pm \sqrt{1/(a+b)})$: $f(0, \pm \sqrt{1/(a+b)}) = e^{-1/(a+b)} b/(a+b)$

$a>b>0$ なので、$e^{-1/(a+b)} a/(a+b) > e^{-1/(a+b)} b/(a+b) > 0$.

したがって、$(0, 0)$ は極小値、$e^{-1/(a+b)} a/(a+b)$ は極大値。

**問題1 (3) の答え**:

極小値: 0

極大値: $e^{-1/(a+b)} \frac{a}{a+b}$

**問題2 (1)**

1. **偏導関数を求める**:

$f_x = 4x^3 - 4x + 4y$

$f_y = 4y^3 - 4y + 4x$

2. **連立方程式を解く**:

$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を満たす $(x, y)$ を求める。

$x^3 - x + y = 0$

$y^3 - y + x = 0$

引き算して、$x^3-y^3 - 2x + 2y = 0$となる。$(x-y)(x^2+xy+y^2-2)=0$

つまり$x=y$または、$x^2+xy+y^2-2=0$。

* $x=y$のとき、$x^3 = 0$ なので、$x(x^2-1+1)=0$。なので$x=0$.つまり$(0,0)$

* $x = 1, y = 1$, $x = -1, y = -1$.

3. **ヘッセ行列式を求める**:

$f_{xx} = 12x^2 - 4$

$f_{yy} = 12y^2 - 4$

$f_{xy} = 4$

$D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = (12x^2 - 4)(12y^2 - 4) - 16$

4. **極値の判定**:

* $(0, 0)$: $D = (-4)(-4) - 16 = 0$.　判定できない。

* $(1, 1)$: $D = (12-4)(12-4) - 16 = 64 - 16 = 48 > 0$

$f_{xx} = 12 - 4 = 8 > 0$ なので、極小値。$f(1, 1) = 1 + 1 - 2 + 4 - 2 = 2$

* $(-1, -1)$: $D = (12-4)(12-4) - 16 = 64 - 16 = 48 > 0$

$f_{xx} = 12 - 4 = 8 > 0$ なので、極小値。$f(-1, -1) = 1 + 1 - 2 + 4 - 2 = 2$

原点付近の挙動を調べると、$f(x,y)\sim -2x^2 + 4xy -2y^2 = -2(x-y)^2 <= 0$. なので、$(0,0)$では極大値をとる。$f(0,0) = 0$.

**問題2 (1) の答え**:

極大値: 0

**問題3**

1. **ラグランジュの未定乗数法**:

$L(x, y, \lambda) = x^2 + y^2 - \lambda(x^3 - 3xy + y^3)$

2. **偏導関数を求める**:

$L_x = 2x - \lambda(3x^2 - 3y)$

$L_y = 2y - \lambda(3y^2 - 3x)$

$L_\lambda = -(x^3 - 3xy + y^3)$

3. **連立方程式を解く**:

$2x - \lambda(3x^2 - 3y) = 0$

$2y - \lambda(3y^2 - 3x) = 0$

$x^3 - 3xy + y^3 = 0$

$x=y$ のとき、$x^3 - 3x^2 + x^3 = 0$ なので $2x^3 - 3x^2 = x^2(2x-3) = 0$.

$x=0$ or $x = 3/2$.

(0, 0), (3/2, 3/2)

$2x - \lambda(3x^2 - 3y) = 0$

$2y - \lambda(3y^2 - 3x) = 0$

$x=y$の場合、$f(0,0) = 0$、$f(3/2,3/2) = 2*(9/4) = 9/2$.

**極値の判定**:

* $(0, 0)$: 特異点なので、極値かどうかはすぐにはわからない。

* $(3/2, 3/2)$: 極値である可能性がある。

$(x, y) = (3/2, 3/2)$の時$f(x,y) = (3/2)^2 + (3/2)^2 = 9/4 + 9/4 = 9/2$.

また、制約条件のグラフを見ると、$(0,0)$付近では、$x^2+y^2$はより小さい値を取りうる。

**問題3 の答え**:

極小値: 0

極大値: 9/2