関数 $f(x) = x^2 + 5$ の導関数を定義に従って求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 + 5$ の導関数を定義に従って求める問題です。

2. 解き方の手順

導関数の定義は、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

です。

まず、$f(x+h)$を計算します。

$f(x+h) = (x+h)^2 + 5 = x^2 + 2xh + h^2 + 5$

次に、$f(x+h) - f(x)$を計算します。

$f(x+h) - f(x) = (x^2 + 2xh + h^2 + 5) - (x^2 + 5) = 2xh + h^2$

次に、$\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$を計算します。

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h$

最後に、$h \to 0$の極限を計算します。

$\lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$

したがって、$f'(x) = 2x$

3. 最終的な答え

$f'(x) = 2x$