次の4つの関数の不定積分を求める問題です。 (1) $xe^x$ (2) $x \sin x$ (3) $\tan^{-1} x$ (4) $\log(x^2+1)$

1. 問題の内容

次の4つの関数の不定積分を求める問題です。

(1) $xe^x$

(2) $x \sin x$

(3) $\tan^{-1} x$

(4) $\log(x^2+1)$

2. 解き方の手順

(1) $xe^x$ の不定積分

部分積分を行います。$u = x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$ となります。

$$\int xe^x dx = \int u dv = uv - \int v du = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C$$

(2) $x \sin x$ の不定積分

部分積分を行います。$u = x$, $dv = \sin x dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\cos x$ となります。

$$\int x \sin x dx = \int u dv = uv - \int v du = -x \cos x - \int (-\cos x) dx = -x \cos x + \int \cos x dx = -x \cos x + \sin x + C$$

(3) $\tan^{-1} x$ の不定積分

部分積分を行います。$u = \tan^{-1} x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = x$ となります。

$$\int \tan^{-1} x dx = \int u dv = uv - \int v du = x \tan^{-1} x - \int \frac{x}{1+x^2} dx$$

ここで、$t = 1+x^2$ とおくと、$dt = 2x dx$ より、$x dx = \frac{1}{2} dt$ となります。

$$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \int \frac{1}{t} \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \log |t| + C = \frac{1}{2} \log (1+x^2) + C$$

したがって、

$$\int \tan^{-1} x dx = x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log (1+x^2) + C$$

(4) $\log(x^2+1)$ の不定積分

部分積分を行います。$u = \log(x^2+1)$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{2x}{x^2+1} dx$, $v = x$ となります。

$$\int \log(x^2+1) dx = \int u dv = uv - \int v du = x \log(x^2+1) - \int \frac{2x^2}{x^2+1} dx$$

$$\int \frac{2x^2}{x^2+1} dx = \int \frac{2(x^2+1) - 2}{x^2+1} dx = \int \left( 2 - \frac{2}{x^2+1} \right) dx = 2x - 2 \int \frac{1}{x^2+1} dx = 2x - 2 \tan^{-1} x + C$$

したがって、

$$\int \log(x^2+1) dx = x \log(x^2+1) - (2x - 2 \tan^{-1} x) + C = x \log(x^2+1) - 2x + 2 \tan^{-1} x + C$$

3. 最終的な答え

(1) $\int xe^x dx = xe^x - e^x + C$

(2) $\int x \sin x dx = -x \cos x + \sin x + C$

(3) $\int \tan^{-1} x dx = x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log (1+x^2) + C$

(4) $\int \log(x^2+1) dx = x \log(x^2+1) - 2x + 2 \tan^{-1} x + C$