領域 $D = \{(x, y) \mid 0 \le x \le 1, 0 \le y \le x\}$ において、関数 $f(x, y) = 2x + y$ に対して、D上で常に $f(x, y)$ 以下となる関数を全て選択する問題です。つまり、$0 \le x \le 1$ かつ $0 \le y \le x$ の範囲で、与えられた関数が $2x+y$ 以下になるかどうかを判定します。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) \mid 0 \le x \le 1, 0 \le y \le x\}$ において、関数 $f(x, y) = 2x + y$ に対して、D上で常に $f(x, y)$ 以下となる関数を全て選択する問題です。つまり、$0 \le x \le 1$ かつ $0 \le y \le x$ の範囲で、与えられた関数が $2x+y$ 以下になるかどうかを判定します。

2. 解き方の手順

それぞれの選択肢について、領域D内で常に $f(x,y)=2x+y$ 以下となるかどうかを検討します。

* $x+y$:

$2x+y - (x+y) = x \ge 0$ なので、$x+y \le 2x+y$ は常に成り立ちます。

* $x+2y$:

$2x+y - (x+2y) = x-y$。 $x \ge y$ なので、$x-y \ge 0$。よって、$x+2y \le 2x+y$ は常に成り立ちます。

* $2x$:

$2x+y - 2x = y \ge 0$ なので、$2x \le 2x+y$ は常に成り立ちます。

* $2x+2y$:

$2x+y - (2x+2y) = -y$。$y \ge 0$なので、$-y \le 0$。 よって、$2x+2y \ge 2x+y$。これは成り立ちません。

* $3x+y$:

$2x+y - (3x+y) = -x$。$x \ge 0$なので、$-x \le 0$。 よって、$3x+y \ge 2x+y$。これは成り立ちません。

* $y$:

$2x+y - y = 2x \ge 0$ なので、$y \le 2x+y$ は常に成り立ちます。

したがって、$2x+y$ 以下となる関数は、$x+y$, $x+2y$, $2x$, $y$ です。

3. 最終的な答え

$x+y$, $x+2y$, $2x$, $y$