質量 $m$ の質点の位置ベクトル $\vec{r} = (a\sin\theta(t), 0, b\cos\theta(t))$ が与えられています。ここで、$a$ と $b$ は定数、$\theta(t)$ は時刻 $t$ の関数です。 (a) この質点の速度 $\dot{\vec{r}}$ を求めます。 (b) 原点まわりの角運動量 $\vec{L}$ を求めます。 (c) 原点まわりの力のモーメント $\vec{N}$ を求めます。

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点の位置ベクトル $\vec{r} = (a\sin\theta(t), 0, b\cos\theta(t))$ が与えられています。ここで、$a$ と $b$ は定数、$\theta(t)$ は時刻 $t$ の関数です。

(a) この質点の速度 $\dot{\vec{r}}$ を求めます。

(b) 原点まわりの角運動量 $\vec{L}$ を求めます。

(c) 原点まわりの力のモーメント $\vec{N}$ を求めます。

2. 解き方の手順

(a) 速度 $\dot{\vec{r}}$ を求めるには、位置ベクトル $\vec{r}$ を時間 $t$ で微分します。

$\dot{\vec{r}} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \left( \frac{d}{dt} a\sin\theta(t), 0, \frac{d}{dt} b\cos\theta(t) \right)$

$\dot{\vec{r}} = \left( a\cos\theta(t) \frac{d\theta(t)}{dt}, 0, -b\sin\theta(t) \frac{d\theta(t)}{dt} \right)$

$\dot{\vec{r}} = ( a\cos\theta(t) \dot{\theta}(t), 0, -b\sin\theta(t) \dot{\theta}(t) )$

(b) 角運動量 $\vec{L}$ は、$\vec{L} = \vec{r} \times (m\dot{\vec{r}})$ で与えられます。

$\vec{L} = (a\sin\theta, 0, b\cos\theta) \times (ma\cos\theta \dot{\theta}, 0, -mb\sin\theta \dot{\theta})$

$\vec{L} = \begin{vmatrix}

\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\

a\sin\theta & 0 & b\cos\theta \\

ma\cos\theta \dot{\theta} & 0 & -mb\sin\theta \dot{\theta}

\end{vmatrix}$

$\vec{L} = \left( 0, -(a\sin\theta(-mb\sin\theta \dot{\theta}) - b\cos\theta (ma\cos\theta \dot{\theta})), 0 \right)$

$\vec{L} = ( 0, mab\sin^2\theta \dot{\theta} + mab\cos^2\theta \dot{\theta}, 0)$

$\vec{L} = ( 0, mab(\sin^2\theta + \cos^2\theta) \dot{\theta}, 0)$

$\vec{L} = (0, mab\dot{\theta}, 0)$

(c) 力のモーメント $\vec{N}$ は、$\vec{N} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ で与えられます。

$\vec{N} = \frac{d}{dt}(0, mab\dot{\theta}, 0) = (0, mab\ddot{\theta}, 0)$

3. 最終的な答え

(a) 速度：$\dot{\vec{r}} = ( a\cos\theta(t) \dot{\theta}(t), 0, -b\sin\theta(t) \dot{\theta}(t) )$

(b) 角運動量：$\vec{L} = (0, mab\dot{\theta}, 0)$

(c) 力のモーメント：$\vec{N} = (0, mab\ddot{\theta}, 0)$