$\tan 105^\circ$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\tan 105^\circ$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\tan 105^\circ$ を求めるために、加法定理を利用します。$105^\circ$ は $45^\circ$ と $60^\circ$ の和で表せるため、$\tan (45^\circ + 60^\circ)$ を計算します。

$\tan$ の加法定理は次の通りです。

$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$

この式に $A = 45^\circ$ と $B = 60^\circ$ を代入します。

$\tan 45^\circ = 1$

$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$

よって、

$\tan(45^\circ + 60^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 60^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 60^\circ} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

分母を有理化するために、分子と分母に $1 + \sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = \frac{(1 + \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\tan 105^\circ = -2 - \sqrt{3}$