水平な地面をx軸、鉛直上向きをy軸とし、原点から高さhの点(0, h)から質量mの小球を水平方向に速度$v_0$で投げた。重力加速度の大きさをgとし、空気抵抗を無視するとき、以下の問いに答えよ。 (1) 小球の位置ベクトルを$r$、x軸の正の向きの単位ベクトルを$e_x$、y軸の正の向きの単位ベクトルを$e_y$として、小球の運動方程式をベクトルを用いて書け。 (2) (1)で求めた運動方程式をx成分、y成分に分けて書け。 (3) 時刻tにおける小球の速度$v_x(t)$, $v_y(t)$を求めよ。 (4) 時刻tにおける小球の位置$x(t)$, $y(t)$を求めよ。 (5) 小球が地面に到達する時刻t'と、小球の速さvを求めよ。

1. 問題の内容

水平な地面をx軸、鉛直上向きをy軸とし、原点から高さhの点(0, h)から質量mの小球を水平方向に速度$v_0$で投げた。重力加速度の大きさをgとし、空気抵抗を無視するとき、以下の問いに答えよ。

(1) 小球の位置ベクトルを$r$、x軸の正の向きの単位ベクトルを$e_x$、y軸の正の向きの単位ベクトルを$e_y$として、小球の運動方程式をベクトルを用いて書け。

(2) (1)で求めた運動方程式をx成分、y成分に分けて書け。

(3) 時刻tにおける小球の速度$v_x(t)$, $v_y(t)$を求めよ。

(4) 時刻tにおける小球の位置$x(t)$, $y(t)$を求めよ。

(5) 小球が地面に到達する時刻t'と、小球の速さvを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 運動方程式は、ニュートンの運動の第二法則より、$F=ma$と表せる。小球に働く力は重力のみなので、$F = -mg\mathbf{e_y}$である。

したがって、運動方程式は、

$m\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = -mg\mathbf{e_y}$

(2) (1)の運動方程式をx成分、y成分に分けると、

$m\frac{d^2x}{dt^2} = 0$

$m\frac{d^2y}{dt^2} = -mg$

(3) (2)で求めた微分方程式を解く。

x成分：$\frac{d^2x}{dt^2} = 0$より、$\frac{dx}{dt} = v_x(t) = C_1$（C1は定数）。初期条件より、$v_x(0) = v_0$なので、$C_1 = v_0$。したがって、$v_x(t) = v_0$。

y成分：$\frac{d^2y}{dt^2} = -g$より、$\frac{dy}{dt} = v_y(t) = -gt + C_2$（C2は定数）。初期条件より、$v_y(0) = 0$なので、$C_2 = 0$。したがって、$v_y(t) = -gt$。

(4) (3)で求めた速度を積分して位置を求める。

x成分：$v_x(t) = \frac{dx}{dt} = v_0$より、$x(t) = v_0t + C_3$（C3は定数）。初期条件より、$x(0) = 0$なので、$C_3 = 0$。したがって、$x(t) = v_0t$。

y成分：$v_y(t) = \frac{dy}{dt} = -gt$より、$y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + C_4$（C4は定数）。初期条件より、$y(0) = h$なので、$C_4 = h$。したがって、$y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + h$。

(5) 小球が地面に到達するとき、$y(t') = 0$である。したがって、$0 = -\frac{1}{2}gt'^2 + h$より、$t' = \sqrt{\frac{2h}{g}}$。

この時の速度は、$v_x(t') = v_0$、$v_y(t') = -g\sqrt{\frac{2h}{g}} = -\sqrt{2gh}$。

したがって、速さvは、$v = \sqrt{v_x(t')^2 + v_y(t')^2} = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$。

3. 最終的な答え

(1) $m\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = -mg\mathbf{e_y}$

(2)

$m\frac{d^2x}{dt^2} = 0$

$m\frac{d^2y}{dt^2} = -mg$

(3)

$v_x(t) = v_0$

$v_y(t) = -gt$

(4)

$x(t) = v_0t$

$y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + h$

(5)

$t' = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

$v = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$