連続した正弦波がx軸の正の向きに進んでいる。実線は時刻 $t=0$ [s]における波の様子であり、0.5秒後には点線の状態になっている。この波について、以下の問いに答える。 (1) 振幅、波長、速さ、周期、振動数を求める。 (2) 時刻 $t=3.0$ [s]での波形を$y$-$x$図中に記入する。 (3) 原点($x=0$)での媒質の振動の様子を$y$-$t$図に表す。 (4) この正弦波を表す式を記述する。

1. 問題の内容

連続した正弦波がx軸の正の向きに進んでいる。実線は時刻 $t=0$ [s]における波の様子であり、0.5秒後には点線の状態になっている。この波について、以下の問いに答える。

(1) 振幅、波長、速さ、周期、振動数を求める。

(2) 時刻 $t=3.0$ [s]での波形を$y$-$x$図中に記入する。

(3) 原点($x=0$)での媒質の振動の様子を$y$-$t$図に表す。

(4) この正弦波を表す式を記述する。

2. 解き方の手順

(1)

* **振幅:** 図から、振幅は$A=0.3$ [m]である。

* **波長:** 図から、波長は$\lambda=4$ [m]である。

* **周期:** 実線から点線に0.5秒で移り、これは波の半周期に相当する。したがって、周期は$T = 2 \times 0.5 = 1$ [s]である。

* **振動数:** 振動数は周期の逆数なので、$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{1} = 1$ [Hz]である。

* **速さ:** 波の速さは$v = f\lambda = 1 \times 4 = 4$ [m/s]である。

(2)

$t = 3.0$ [s]後の波形は、$t=0$ [s]の波形から3周期分進んだ波形になる。したがって、$t=0$ [s]と同じ波形になる。$y$-$x$図に実線と同じ波形を書き込む。

(3)

$x=0$における媒質の振動は、$t=0$ [s]で$y=0$から始まり、最初は負の方向に動く。周期は1 [s]なので、$y$-$t$グラフは原点を通り、最初は負の勾配を持つ正弦波になる。振幅は0.3 [m]である。グラフ用紙に注意深くプロットする。

(4)

正弦波の式は一般に$y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \phi)$と表される。ここで、$A$は振幅、$k$は波数、$\omega$は角振動数、$\phi$は初期位相である。

* $A = 0.3$ [m]

* $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ [rad/m]

* $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 1 = 2\pi$ [rad/s]

$t=0$のとき、$x=0$で$y=0$であり、波が正の方向に進んでいるので、$\frac{\partial y}{\partial t} < 0$となる必要がある。

$y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \phi)$

$\frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega\cos(kx - \omega t + \phi)$

$x=0$, $t=0$のとき、$y=0$なので、$\sin(\phi) = 0$。つまり、$\phi=0$または$\phi=\pi$である。

$\phi=0$のとき、$\frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega\cos(\phi) = -A\omega\cos(0) = -A\omega < 0$。

$\phi=\pi$のとき、$\frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega\cos(\pi) = A\omega > 0$。

したがって、$\phi=0$である。

よって、$y(x,t) = 0.3\sin(\frac{\pi}{2}x - 2\pi t)$

3. 最終的な答え

(1)

振幅: 0.3 [m]

波長: 4 [m]

速さ: 4 [m/s]

周期: 1 [s]

振動数: 1 [Hz]

(2)

$y$-$x$図に実線と同じ波形を書き込む(解答省略)

(3)

$y$-$t$図に原点を通り、最初は負の勾配を持つ振幅0.3 [m]、周期1 [s]の正弦波を書き込む(解答省略)

(4)

$y(x,t) = 0.3\sin(\frac{\pi}{2}x - 2\pi t)$