質量 $m$ の小球を、高さ $h$ の点 $(0, h)$ から水平方向に初速度 $v_0$ で投げた。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗を無視するとき、以下の問いに答えよ。 (1) 小球の運動方程式をベクトルを用いて書け。 (2) (1)で求めた運動方程式を、$x$ 成分、$y$ 成分に分けて書け。 (3) 時刻 $t$ における小球の速度 $v_x(t)$, $v_y(t)$ を求めよ。 (4) 時刻 $t$ における小球の位置 $x(t)$, $y(t)$ を求めよ。 (5) 小球が地面に到達する時刻 $t$ と、小球の速さ $v$ を求めよ。

1. 問題の内容

質量 $m$ の小球を、高さ $h$ の点 $(0, h)$ から水平方向に初速度 $v_0$ で投げた。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗を無視するとき、以下の問いに答えよ。

(1) 小球の運動方程式をベクトルを用いて書け。

(2) (1)で求めた運動方程式を、$x$ 成分、$y$ 成分に分けて書け。

(3) 時刻 $t$ における小球の速度 $v_x(t)$, $v_y(t)$ を求めよ。

(4) 時刻 $t$ における小球の位置 $x(t)$, $y(t)$ を求めよ。

(5) 小球が地面に到達する時刻 $t$ と、小球の速さ $v$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 小球に働く力は重力のみなので、運動方程式は

$m\vec{a} = m\vec{g}$

$\vec{a}$ は加速度ベクトル、$\vec{g}$ は重力加速度ベクトルである。

位置ベクトル $\vec{r}$ を用いると、

$m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = m\vec{g}$

$\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \vec{g}$

(2) $\vec{r} = x\vec{e_x} + y\vec{e_y}$ , $\vec{g} = -g\vec{e_y}$ を代入すると、

$\frac{d^2x}{dt^2}\vec{e_x} + \frac{d^2y}{dt^2}\vec{e_y} = -g\vec{e_y}$

よって、$x$ 成分、$y$ 成分は、

$\frac{d^2x}{dt^2} = 0$

$\frac{d^2y}{dt^2} = -g$

(3) (2)の結果を積分する。

$\frac{dx}{dt} = C_1$ , $\frac{dy}{dt} = -gt + C_2$

初期条件 $\frac{dx}{dt}(0) = v_0$ , $\frac{dy}{dt}(0) = 0$ より、

$C_1 = v_0$ , $C_2 = 0$

よって、

$v_x(t) = \frac{dx}{dt} = v_0$

$v_y(t) = \frac{dy}{dt} = -gt$

(4) (3)の結果を積分する。

$x(t) = v_0t + C_3$ , $y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + C_4$

初期条件 $x(0) = 0$ , $y(0) = h$ より、

$C_3 = 0$ , $C_4 = h$

よって、

$x(t) = v_0t$

$y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + h$

(5) 地面に到達するとき、$y(t) = 0$ なので、

$-\frac{1}{2}gt^2 + h = 0$

$t^2 = \frac{2h}{g}$

$t > 0$ より、 $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

この時の速さ $v$ は、

$v_x = v_0$ , $v_y = -g\sqrt{\frac{2h}{g}} = -\sqrt{2gh}$

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \vec{g}$

(2) $\frac{d^2x}{dt^2} = 0$, $\frac{d^2y}{dt^2} = -g$

(3) $v_x(t) = v_0$, $v_y(t) = -gt$

(4) $x(t) = v_0t$, $y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + h$

(5) $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$, $v = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$