質量 $m$ の月が、質量 $M$ の地球の周りを半径 $r$ で円運動している。万有引力定数を $G$ とする。以下の問いに答える。 (1) 地球と月の間に働く万有引力の大きさを求めよ。 (2) 月の速さを $v$ として、円運動の運動方程式を書け。 (3) 月の速さ $v$ を求めよ。 (4) 月の周期 $T$ を求めよ。 (5) 地球と月の間に働く万有引力が消滅した場合、月の運動はどうなるか、選択肢の中から選べ。

1. 問題の内容

質量 $m$ の月が、質量 $M$ の地球の周りを半径 $r$ で円運動している。万有引力定数を $G$ とする。以下の問いに答える。

(1) 地球と月の間に働く万有引力の大きさを求めよ。

(2) 月の速さを $v$ として、円運動の運動方程式を書け。

(3) 月の速さ $v$ を求めよ。

(4) 月の周期 $T$ を求めよ。

(5) 地球と月の間に働く万有引力が消滅した場合、月の運動はどうなるか、選択肢の中から選べ。

2. 解き方の手順

(1) 万有引力の法則より、地球と月の間に働く万有引力 $F$ は、

$F = G \frac{Mm}{r^2}$

となる。

(2) 月の運動方程式は、万有引力が向心力となることから、

$m \frac{v^2}{r} = G \frac{Mm}{r^2}$

となる。

(3) (2)の運動方程式から $v$ を求める。

$m \frac{v^2}{r} = G \frac{Mm}{r^2}$

$v^2 = G \frac{M}{r}$

$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$

(4) 周期 $T$ は、月の速さ $v$ で円周 $2\pi r$ を回ることから、

$T = \frac{2\pi r}{v}$

$v$ に(3)の結果を代入すると、

$T = \frac{2\pi r}{\sqrt{\frac{GM}{r}}} = 2\pi r \sqrt{\frac{r}{GM}} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$

(5) 万有引力が消滅した場合、月は慣性によって運動を続ける。円運動をしていた月は、その瞬間の速度ベクトル方向に等速直線運動をする。これは軌道の接線方向に離れる向きに飛んでいくことを意味する。

3. 最終的な答え

(1) $F = G \frac{Mm}{r^2}$

(2) $m \frac{v^2}{r} = G \frac{Mm}{r^2}$

(3) $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$

(4) $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$

(5) 4