放射性原子の崩壊による数の減少が、微分方程式 $\frac{dN(t)}{dt} = -kN(t)$ で表される。ここで、$N(t)$ は時間 $t$ における原子の数、$k$ は正の定数である。この微分方程式を解くことを求められていると解釈します。

1. 問題の内容

放射性原子の崩壊による数の減少が、微分方程式 $\frac{dN(t)}{dt} = -kN(t)$ で表される。ここで、$N(t)$ は時間 $t$ における原子の数、$k$ は正の定数である。この微分方程式を解くことを求められていると解釈します。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式は変数分離形なので、以下のように解きます。

ステップ1: 変数分離

$N(t)$ と $t$ を分離します。

$\frac{dN}{N} = -k dt$

ステップ2: 両辺を積分

$\int \frac{dN}{N} = \int -k dt$

$\ln|N| = -kt + C$ （$C$ は積分定数）

ステップ3: 指数関数で表現

$|N| = e^{-kt + C} = e^C e^{-kt}$

$N = \pm e^C e^{-kt}$

$A = \pm e^C$ とおくと、$A$ は定数なので、$N(t) = A e^{-kt}$

ステップ4: 初期条件

$t=0$ のとき、$N(0) = N_0$ とすると、$N_0$ は初期原子数です。

$N(0) = A e^{-k \cdot 0} = A e^0 = A = N_0$

したがって、$N(t) = N_0 e^{-kt}$

3. 最終的な答え

$N(t) = N_0 e^{-kt}$