放射性原子の崩壊を表す微分方程式 $\frac{dN(t)}{dt} = -kN(t)$ が与えられています。ここで、$N(t)$ は時刻 $t$ における放射性原子の数、$k$ は正の定数です。 (1) この微分方程式を解き、時間 $t$ における原子の数 $N(t)$ を求めます。初期条件は $t=0$ のとき $N(0) = N_0$ です。 (2) 放射性原子の数が最初の半分、つまり $\frac{N_0}{2}$ になる時間（半減期）を求めます。

1. 問題の内容

放射性原子の崩壊を表す微分方程式 $\frac{dN(t)}{dt} = -kN(t)$ が与えられています。ここで、$N(t)$ は時刻 $t$ における放射性原子の数、$k$ は正の定数です。

(1) この微分方程式を解き、時間 $t$ における原子の数 $N(t)$ を求めます。初期条件は $t=0$ のとき $N(0) = N_0$ です。

(2) 放射性原子の数が最初の半分、つまり $\frac{N_0}{2}$ になる時間（半減期）を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 微分方程式 $\frac{dN(t)}{dt} = -kN(t)$ を解きます。

この微分方程式は変数分離法で解くことができます。

$\frac{dN}{N} = -k dt$

両辺を積分すると、

$\int \frac{dN}{N} = \int -k dt$

$\ln|N| = -kt + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

指数関数をとると、

$N(t) = e^{-kt + C} = e^C e^{-kt}$

$e^C$ を改めて $A$ とおくと、$N(t) = Ae^{-kt}$ となります。

初期条件 $t=0$ のとき $N(0) = N_0$ を用いると、

$N_0 = Ae^{-k(0)} = A$

したがって、$A = N_0$ となり、

$N(t) = N_0 e^{-kt}$

が得られます。

(2) 放射性原子の数が最初の半分になる時間（半減期）を $T$ とします。つまり、$N(T) = \frac{N_0}{2}$ となる $T$ を求めます。

$N(T) = N_0 e^{-kT} = \frac{N_0}{2}$

$e^{-kT} = \frac{1}{2}$

両辺の自然対数をとると、

$-kT = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2$

$T = \frac{\ln 2}{k}$

3. 最終的な答え

(1) 時間 $t$ での原子の数 $N(t)$ は、$N(t) = N_0 e^{-kt}$

(2) 半減期は、$T = \frac{\ln 2}{k}$